2010年广东省东莞市高考数学模拟试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

第16届亚运会将于2010年11月12日在中国广州进行．若集合∪={参加广州亚运会比赛的运动员、裁判员}，A={参加广州亚运会比赛的男运动员}，B={加广州亚运会比赛的女运动员}，C={参加广州亚运会比赛的裁判员}，则下列关系正确的是（ ）
A．U∩A=B
B．A∩B=C
C．A∪B=U
D．（A∪B）∪C=U

2. 难度：中等

对于非零向量，“”是“=0”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x-2）i-y=-1+i，则（1-i）^x+y的值为（ ）
A．4
B．4+4i
C．-4
D．2i

4. 难度：中等

若{a_n}为等差数列，S_n是其前n项和，且，则tana₆的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

关于直线m，n和平面α，β，则下列命题为真命题的是：（ ）
A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；
B．若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β
C．若α∩β=m，m∥n，则n∥α，n∥β；
D．若m⊥n，α∩β=m则n⊥α或n⊥β

6. 难度：中等

如图是2010年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的 一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a₁，a₂，则一定有（ ）
A．a₁＞a₂
B．a₂＞a₁
C．a₁=a₂
D．a₁，a₂的大小与m的值有关

7. 难度：中等

若方程2^x+x-4=0的解为x，则满足x＜n的最小的整数nx的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆孤，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（ ）
A．1-
B．
C．1-
D．与a的取值有关

9. 难度：中等

湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为24cm，深8cm的空穴，则该球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

函数y=sinx+cosx的最小正周期是    ，最大值是    ．

12. 难度：中等

直线x+2y-2=0经过椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于    ．

13. 难度：中等

若数列{a_n}的前n项和为S_n，则若数列{b_n}的前n项积为T_n，类比上述结果，则b_n=    ．此时，若T_n=n²（n∈N）^*，则b_n=    ．

14. 难度：中等

（几何证明选做题）若A，B，C是⊙O上三点，PC切⊙O于点C，∠ABC=110°，∠BCP=40°，则∠AOB的大小为    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题） 若直线与曲线（ϕ为参数，a＞0）有两个公共点A，B，且|AB|=2，则实数a的值为    ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C的极坐标方程为    ．

16. 难度：中等

如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西
60°的方向前进了40m以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已
知沿途塔的仰角∠AEB=a，a的最大值为30°，求塔的高．

17. 难度：中等

某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：

树干周长（单位：cm）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）
株数	4	18	x	6

（1）求x的值；
（2）若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．

18. 难度：中等

已知一几何体的三视图如图（甲）示，（三视图中已经给出各投影面顶点的标记）
（1）在已给出的一个面上（图乙），画出该几何体的直观图；
（2）设点F、H、G分别为AC，AD，DE的中点，
求证：FG∥平面ABE；
（3）求该几何体的全面积．

19. 难度：中等

已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上的一点p在第一象限，且满足PF₁⊥PF₂，⊙O的方程为x²+y²=4．求点p坐标，并判断直线pF₂与⊙O的位置关系；
（3）设点A为椭圆的左顶点，是否存在不同于点A的定点B，对于⊙O上任意一点M，都有为常数，若存在，求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（1+）e^x，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）讨论y=f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）在区间（-∞，-]上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知点列B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N*）顺次为直线上的点，点列A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求证：对任意的n∈N*，x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在等腰直角三角形A_nB_nA_n+1？请说明理由．