2009-2010学年江苏省徐州市高三第三次调研数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若复数z=a²-1+（a-1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a    ．

2. 难度：中等

已知函数的定义域为集合P，N为自然数集，则集合P∩N中元素的个数为    ．

3. 难度：中等

若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则ω的值为    ．

4. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以BC边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为     ．

5. 难度：中等

已知向量=（sinx，cosx），=（1，-2），且∥，则tanx=    ．

6. 难度：中等

已知变量x，y满足，则z=2x+y的最大值是    ．

7. 难度：中等

右面是一个算法的程序框图，当输入的值 x 为8时，则其输出的结果是    ．

8. 难度：中等

在某次数学小测验后，老师统计了所任两个班级的数学成绩，并制成下面的频率分布表，请你估计这两个班的本次数学测验的平均分为    ．

9. 难度：中等

一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为    ．

10. 难度：中等

已知p：，q：（x-a）（x-a-1）＞0，若p是^¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

在数列{a_n}中，若对任意的n均有a_n+a_n+1+a_n+2为定值（n∈N^*），且a₇=2，a₉=3，a₉₈=4，则此数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀=    ．

12. 难度：中等

已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂，若点A，B关于原点对称，则k₁•k₂的值为    ．

13. 难度：中等

已知扇形的圆心角为2α（定值），半径为R（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为    ，则按图二作出的矩形面积的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²+2x-1|，若a＜b＜-1，且f（a）=f（b），则ab+a+b的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在三角形ABC中，已知，设∠CAB=α，
（1）求角α的值；
（2）若，其中，求cosβ的值．

16. 难度：中等

如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，O是AD的中点
（1）求证：CD∥平面PBO；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

17. 难度：中等

已知圆M的方程为x²+（y-2）²=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；
（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，令，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式及数列{b_n}的前n项和为T_n；
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N^*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a＞0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

20. 难度：中等

设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

选做题：几何证明选讲
如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．
（1）求证：E是AB的中点；
（2）求线段BF的长．

22. 难度：中等

已知矩阵，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为，属于特征值-1的一个特征向量为，求矩阵A．

23. 难度：中等

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．

24. 难度：中等

已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

25. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱BC的中点，Q在棱CD上．且DQ=λDC，若二面角P-C₁Q-C的余弦值为，求实数λ的值．

26. 难度：中等

如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A₁、A₂、A₃、A₄是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M为止．
（1）求甲经过A₂到达N的方法有多少种；
（2）求甲、乙两人在A₂处相遇的概率；
（3）求甲、乙两人相遇的概率．