2009-2010学年湖南省衡阳市两校高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集I为实数集R，A={x||x|＞2}与B={x|}都是I的子集，则集合B∩C_uA为（ ）
A．{x|x＜2}
B．{x|-2≤x＜1}
C．{x|-2≤x≤2}
D．{x|1＜x≤2}

2. 难度：中等

已知函数f（x）=log₃（x-1）+9，若函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则g（10）的值为（ ）
A．1
B．4
C．10
D．11

3. 难度：中等

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

4. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．命题“若xy=0，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若xy≠0，则x，y都不为零”
B．对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0；则¬p：∀x∈R，均有x²+x+1≥0
C．命题“若m＞0，则方程x²+x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x²+x-m=0无实根，则m≤0
D．“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件

5. 难度：中等

设O是坐标原点，点M的坐标为（2，1）．若点N（x，y）满足不等式组，则使得取得最大值时点N个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个

6. 难度：中等

已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图所示，在△OAB中，OA＞OB，OC=OB，设=，=，若=λ•，则实数λ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

某地一个中型水库，在无洪水时上游来水量a（立方米/小时），与发电用水量相同，水库保持正常蓄水量m（万立方米）．因为8月的大雨，上游形成48小时的洪水流入水库，第20小时洪水到达高峰b（立方米/小时），以后逐步消退至正常水量a（立方米/小时）．为保证下游防洪，水库拦蓄洪水（除正常发电用水外，不增加排水量），整个过程水库蓄水量未超过最大蓄水量n（万立方米）．下面流入水库的流量g（t）与水库蓄水量f（t）（t为小时）的图象中，比较符合上述情况的一组是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

的展开式中的常数项等于    ．

10. 难度：中等

如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=，则不等式（x+1）•f（x+1）≤3-x的解集为    ．

12. 难度：中等

计算机在运行如右所示的程序后输出的结果为    ．

13. 难度：中等

若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x²+y²+8x+2y+1=0的周长，则的最小值为    ．

14. 难度：中等

给出以下几个命题，正确的是    ．
①函数对称中心是；
②已知S_n是等差数列{a_n}，n∈N^*的前n项和，若S₇＞S₅，则S₉＞S₃；
③函数f（x）=x|x|+px+q（x∈R）为奇函数的充要条件是q=0；
④已知a，b，m均是正数，且a＜b，则．

15. 难度：中等

在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：由此得
…

相加，得
类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，

其结果为     ．

16. 难度：中等

已知向量a=（sin（+x），cosx），b=（sinx，cosx），f（x）=a•b．
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）如果三角形ABC中，满足f（A）=，求角A的值．

17. 难度：中等

如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面EBC；
（Ⅱ）求直线AB与平面EBC所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角A-EB-C的大小．

18. 难度：中等

某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持米的距离，其中a为常数且，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y（秒）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．

19. 难度：中等

设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n为数列{c_n}的前n项和．求证：．

20. 难度：中等

如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点F₁的连线MF₁与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）F₂是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F₁CF₂≤；
（3）过F₁且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF₂Q的面积是20，求此时椭圆的方程．

21. 难度：中等

对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则，称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f₁（x）=log_a（x-3a）与（a＞0且a≠1），f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，
（1）求a的取值范围；
（2）问f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否为接近的？请说明理由．