2010年广西贵港市、柳州市、钦州市4月高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|2x+1＜3}，B={x|-3＜x＜2}，则A∩B等于（ ）
A．{x|-3＜x＜1}
B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞-3}
D．{x|x＜1}

2. 难度：中等

若复数为虚数单位）为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．2
B．-1
C．1
D．-2

3. 难度：中等

“k=1”是“函数y=sin²kx-cos²kx+1的最小正周期为π”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

函数y=2^x+1的反函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知的展开式中的各项系数之和大于8，小于32，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．
B．
C．
D．或

6. 难度：中等

已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=y-x的取值范围是（ ）
A．[-2，-1]
B．[-2，1]
C．[-1，2]
D．[1，2]

7. 难度：中等

若=（x，1），=（2，3x），且x≥0．那么的取值范围是（ ）
A．（-∞，）
B．[0，]
C．[-，]
D．[，+∞）

8. 难度：中等

已知等差数列{a_n}与等比数列{b_n}，满足a₃=b₃，2b₃-b₂b₄=0，则{a_n}前5项的和S₅为（ ）
A．5
B．20
C．10
D．40

9. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=3，AD=PA=2，，则异面直线PC与AD所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数f（x）=e^xsinx，则此函数图象在点（5，f（5））处的切线的倾斜角为（ ）
A．
B．0
C．钝角
D．锐角

11. 难度：中等

如图，已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．2
C．
D．

12. 难度：中等

在某次乓乒球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛的场数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、解答题

13. 难度：中等

已知，，则tan2x=    ．

14. 难度：中等

设直线ax+2y+6=0与圆x²+y²-2x+4y=0相交于点P、Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ，则a的值为    ．

15. 难度：中等

表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为    ．

16. 难度：中等

给出定义：若，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上有函数f（x）=|x-{x}|（x∈R）．对于函数f（x）给出如下判断．
①函数y=f（x）是偶函数；②函数f（x）是周期函数；③函数y=f（x）在区间上单调递增；
④函数y=f（x）的图象关于直线对称；⑤函数y=f（x）的图象关于直线x=k（k∈Z）对称．
以上判断中正确的结论有    ．（写出所有正确结论的序号）

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中的面积．
（1）求BC边的长度；
（2）求的值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，且EF⊥PB．
（1）求证：PB⊥平面DEF；
（2）求二面角C-PB-D的大小．

19. 难度：中等

为应对甲型H1N1的传播，保障人民的健康，提高人的免疫力，某公司科研部研发了甲、乙两种抗甲型H1N1流感的人体疫苗，在投产使用前，每种新一代产品都要经过第一和第二两项技术指标检测，两项技术指标的检测结果相互独立，每项技术指标的检测结果都均有A、B两个等级，对每种新一代产品，当两项技术指标的检测结果均为A级时，才允许投入生产，否则不能投入生产．
（1）已知甲、乙两种抗甲型H1N1流感的人体疫苗的每一项技术指标的检测结果为A级的概率如下表所示，求甲、乙两种新一代产品中恰有一种产品能投产上市的概率；

	第一项技术指标	第二项技术指标
甲	0.8	0.85
乙	0.75	0.8

（2）若甲、乙两种抗甲型H1N1流感的人体疫苗投入生产，可分别给公司创造120万元、150万元的利润，否则将分别给公司造成10万元、20万元的损失．求在（1）的条件下，甲、乙两种新一代产品中哪一种产品的研发可以给公司创造更大的利润．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和 为S_n，T_n=S_2n-S_n．
（Ⅰ）求证数列{}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：T_n+1＞T_n．

21. 难度：中等

已知椭圆C与双曲线x²-y²=1共焦点，且下顶点到直线x+y-2=0的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若一直线l₂：y=kx+m与椭圆C相交于A、B（A、B不是椭圆的顶点）两点，以AB为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线l₂过定点，并求出该定点的坐标．

22. 难度：中等

已知函数．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值；
（3）当a=1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有．