2011年北京市丰台区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若2∈{1，a，a²-a}，则a=（ ）
A．-1
B．0
C．2
D．2或-1

2. 难度：中等

下列四个命题中，假命题为（ ）
A．∀x∈R，2^x＞0
B．∀x∈R，x²+3x+1＞0
C．∃x∈R，lgx＞0
D．∃x∈R，

3. 难度：中等

已知a＞0且a≠1，函数y=log_ax，y=a^x在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知数列{a_n}中，，，则a₂₀₁₁=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是．（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，则a=（ ）

x		1	3	4
y	2.2	4.3	4.8	6.7

A．3.25
B．2.6
C．2.2
D．0

8. 难度：中等

用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f（x）=max{-x²+8x-4，log₂x}，若函数g（x）=f（x）-kx有2个零点，则k的取值范围是（ ）
A．（0，3）
B．（0，3]
C．（0，4）
D．[0，4]

二、解答题

9. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于第    象限．

10. 难度：中等

圆C：x²+y²+2x-2y-2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是    ．

11. 难度：中等

若x∈[0，2π]，则函数y=sinx-xcosx的单调递增区间是    ．

12. 难度：中等

已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是    元．

13. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是    ．

14. 难度：中等

如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P₁，然后以B为圆心，BP₁长为半径画弧，交CB的延长线于P₂，再以C为圆心，CP₂长为半径画弧，交DC的延长线于P₃，再以D为圆心，DP₃长为半径画弧，交AD的延长线于P₄，再以A为圆心，AP₄长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是    ，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为    ．

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求的值；
（2）若，求函数y=f（x）的最小值及取得最小值时的x值．

16. 难度：中等

已知梯形ABCD中，BC∥AD，，，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且，沿CG将△CDG翻折到△CD'G．
（1）求证：EF∥平面AD'B；
（2）求证：平面CD'G⊥平面AD'G．

17. 难度：中等

某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．

18. 难度：中等

已知函数．
（1）当x=1时函数y=f（x）取得极小值，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为（1，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．
①若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；
②若直线AP，BP的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁•k₂为定值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，数列{c_n}中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．