2011年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={3，4，5}，则C_U（A∩B）等于（ ）
A．{1，2，3，4}
B．{1，2，4，5}
C．{1，2，5}
D．{3}

2. 难度：中等

如果复数（m²-3m）+（m²-5m+6）i是纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．0
B．2
C．0或3
D．2或3

3. 难度：中等

如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（ ）
A．7.68
B．16.32
C．17.32
D．8.68

4. 难度：中等

如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为，那么这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知sinθ=，且θ在第二象限，那么2θ在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

6. 难度：中等

已知点A（1，2）是抛物线C：y²=2px与直线l：y=k（x+1）的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若++=0，且||=||，则•等于（ ）
A．
B．
C．3
D．2

8. 难度：中等

已知函数则函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

二、解答题

9. 难度：中等

已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（-1）=2，那么f（0）+f（1）=    ．

10. 难度：中等

不等式组所表示的平面区域的面积等于    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，若∠B=45°，b=a，则∠C=    ．

12. 难度：中等

某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为    ；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为    ．

	相关人员数	抽取人数
公务员	32	x
教师	48	y
自由职业者	64	4

13. 难度：中等

已知某程序的框图如图，若分别输入的x的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y的值分别为a，b，c，则a+b+c=    ．

14. 难度：中等

已知等差数列{a_n}首项为a，公差为b，等比数列{b_n}首项为b，公比为a，其中a，b 都是大于1的正整数，且a₁＜b₁，b₂＜a₃，那么a=    ；若对于任意的n∈N^*，总存在m∈N^*，使得   b_n=a_m+3成立，则a_n=    ．

15. 难度：中等

已知sin（A+）=，A∈（0，）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+5cosAcosx+1的值域．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4a_n-3（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），且b₁=2，求数列{b_n}的通项公式．

17. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是边长为6的正方形．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC₁D；
（Ⅲ）求二面角C-AC₁-D的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，+∞）上的最小值．

19. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点O，离心率e=，短轴的一个端点为（0，），点M为直线y=x与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

20. 难度：中等

已知a，b为两个正数，且a＞b，设a₁=，b₁=，当n≥2，n∈N^*时，a_n=，b_n=．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是递减数列，数列{b_n}是递增数列；
（Ⅱ）求证：a_n+1-b_n+1＜（a_n-b_n）；
（Ⅲ）是否存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由．