2010年广西桂林市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|＜0}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于（ ）
A．{x|-2＜x＜5}
B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜5}
D．{x|0≤x＜5}

2. 难度：中等

已知复数z=1+i（i是虚数单位），则等于（ ）
A．-i
B．1+i
C．-2i
D．1+2i

3. 难度：中等

在等比数列{a_n} 中，若a₁和a₂是一元二次方程x²-4x+3=0的两个根，则a₅等于（ ）
A．
B．81
C．81或
D．81或

4. 难度：中等

下列所给的有关命题中，说法错误的命题是（ ）
A．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
B．“x=2”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件
C．若p或q为假命题，则p、q均为假命题
D．在△ABC中，若向量，则角B为钝角

5. 难度：中等

在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，E、N、F分别为棱AB、棱BC和棱PC的中点，则异面直线PE与FN所成角为（ ）
A．arccos
B．30°
C．arccos
D．60°

6. 难度：中等

将函数f（x）=log₂x+1的反函数的图象按向量=（-1，1），平移后得到函数g（x），则y=g（x）的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=最小值为1，则a的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．3

8. 难度：中等

2010年上海世博会期间，A、B、C、D四名志愿者分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作，则A不从事翻译且B不从事导游的不同组合方案有（ ）
A．6种
B．8种
C．14种
D．24种

9. 难度：中等

曲线y=x²-3lnx在点A（1，f（1）处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象与x轴两相邻交点间的距离为，要得到y=f（x）的图象只须把f（x）=sin（ωx+）的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位

11. 难度：中等

已知实数a满足方程：（x-a+1）²+（y-1）²=1，当0≤y≤b（b∈R）时，由此方程可以确定一个偶函数y=f（x），则抛物线y²=-4x的焦点到动点（a，b）所构成轨迹上点的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，把方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排成一个数列，则该数列的前n项和为（ ）
A．S_n=2ⁿ-1（n∈N₊）
B．S_n=（n∈N₊）
C．S_n=n-1（n∈N₊）
D．S_n=2^n-1（n∈N₊）

二、解答题

13. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是    ．

14. 难度：中等

已知tan（α+）=2，则tan（α+）的值为    ．

15. 难度：中等

若（1-）ⁿ（n∈N，n＞1）的展开式中的系数为a_n， 等于    ．

16. 难度：中等

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点在同一球面上，且任意两个顶点的球面距离的最大值和最小值分别为2π和，则正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知8sin²-2cos2A=7，且a=，b+c=5，求角A及△ABC的面积．

18. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，AA₁=1，F在棱AB（不含端点）上，且C₁F与底面ABCD所成角的大小为45°
（Ⅰ）证明：直线D₁B₁⊥平面FCC₁；
（Ⅱ）求二面角B-FC₁-C的大小．

19. 难度：中等

（注意：在试题卷上作答无效）
桂林某学校从参加高三年级第二次模拟考试的学生中随机抽出100名学生，将其数学成绩（均为整数）分成五段[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]后得到如右部分频率分布直方图，分析图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[90，110）内的频率和学生数，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）现从分数段[90，150]的学生中随机抽取2人给予助学金奖励，抽到的学生成绩在[90，110）内每人奖励100元，在[100，130）内每人奖励200元，在[130，150）内每人奖励300元，用ξ表示抽取结束后总的奖励金额，求ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=，a_n=（n≥2，n∈N）
（Ⅰ）求数列{+（-1）ⁿ}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，椭圆上的点到焦点距离的最大值为+1，最小值为-1
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，与椭圆C交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且满足≤x₂•x₂+y₁•y₂≤，求△AOB面积S的最大值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-2x+c的图象在点（2，f（x））处的切线方程为4x-y-5=0，且在[-2，1）内单调递减，在[1，+∞）上单调递增
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对于任意的x₁，x₂∈[m，m+3]（m≥0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤恒成立，试问这样的m是否存在？若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．