2010年广东省广州市高三综合测试数学试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，若复数（a-1）+（a+1）i为实数，则实数a的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．不确定

2. 难度：中等

已知全集U=A∪B中有m个元素，（C_UA）∪（C_UB）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（ ）
A．mn
B．m+n
C．n-m
D．m-n

3. 难度：中等

已知向量=（sinx，cosx），向量=，则|+|的最大值为（ ）
A．3
B．
C．1
D．9

4. 难度：中等

若m、n是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥α
B．若m∥n，n∥α，则m∥α
C．若m∥n，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥α，则m⊥α

5. 难度：中等

如图所示的算法流程图中，若f（x）=2^x，g（x）=x³，则h（2）的值为（ ）

A．9
B．8
C．6
D．4

6. 难度：中等

已知点P（x，y）的坐标满足，O为坐标原点，则|PO|的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=xsinx，若x₁、且f（x₁）＜f（x₂），则下列不等式中正确的是（ ）
A．₁＞x₂
B．x₁＜x₂
C．x₁+x₂＜0
D．x₁²＜x₂²

8. 难度：中等

一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（ ）
A．可在7秒内追上汽车
B．可在9秒内追上汽车
C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米
D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米

二、解答题

9. 难度：中等

若函数的最小正周期为π，则ω的值为     ．

10. 难度：中等

已知椭圆C的离心率，且它的焦点与双曲线x²-2y²=4的焦点重合，则椭圆C的方程为     ．

11. 难度：中等

甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：

ξ		1	2	3
P	0.4	0.3	0.2	0.1

η		1	2
P	0.3	0.5	0.2

若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是    ．

12. 难度：中等

如图是一个有n层（n≥2）的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，这个点阵的点数有    个．

13. 难度：中等

已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则该展开式中x²的系数     ．

14. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π]），则直线l被圆C所截得的弦长为     ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题） 如图，半径为5的圆O的两条弦AD和BC相交于点P，OD⊥BC，P为AD的中点，BC=6，则弦AD的长度为    ．

16. 难度：中等

已知．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．

17. 难度：中等

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图2所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．
（1）求直线PC与平面PAB所成的角的大小；
（2）求二面角P-AC-B的大小的余弦值．

18. 难度：中等

一射击运动员进行飞碟射击训练，每一次射击命中飞碟的概率p与运动员离飞碟的距离s（米）成反比，每一个飞碟飞出后离运动员的距离s（米）与飞行时间t（秒）满足s=15（t+1）（0≤t≤4），每个飞碟允许该运动员射击两次（若第一次射击命中，则不再进行第二次射击）．该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击，命中的概率为，当第一次射击没有命中飞碟，则在第一次射击后0.5秒进行第二次射击，子弹的飞行时间忽略不计．
（1）在第一个飞碟的射击训练时，若该运动员第一次射击没有命中，求他第二次射击命中飞碟的概率；
（2）求第一个飞碟被该运动员命中的概率；
（3）若该运动员进行三个飞碟的射击训练（每个飞碟是否被命中互不影响），求他至少命中两个飞碟的概率．

19. 难度：中等

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，A、B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在点A、B处的切线分别为l₁、l₂，且l₁⊥l₂，l₁与l₂相交于点D．
（1）求点D的纵坐标；
（2）证明：A、B、F三点共线；
（3）假设点D的坐标为，问是否存在经过A、B两点且与l₁、l₂都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-x²+ax+b（a，b∈R）的一个极值点为x=1．方程ax²+x+b=0的两个实根为α，β（α＜β），函数f（x）在区间[α，β]上是单调的．
（1）求a的值和b的取值范围；
（2）若x₁，x₂∈[α，β]，证明：|f（x₁）-f（x₂）|≤1．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁，且对任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）证明：．