2011年江苏省高考数学预测试卷（2）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

设复数z₁=2+i，z₂=x-2i（x∈R），若z₁•z₂为实数，则x为    ．

2. 难度：中等

已知集合{a，b，c}，则集合A的子集的个数为    ．

3. 难度：中等

已知条件p：，条件q：（x+a）（x-3）＞0，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围可以是    ．

4. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列=的最小值为    ．

5. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的K的值是    ．

6. 难度：中等

设抛物线y²=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=    ．

7. 难度：中等

在△ABC中，AH为BC边上的高，=，则过点C，以A，H为焦点的双曲线的离心率为    ．

8. 难度：中等

若将函数f（x）=sinωx的图象向右平移个单位得到的图象，则|ω|的最小值为    ．

9. 难度：中等

设a＞0，b＞0，h=min{a，}，其中min{x，y}表示x，y两数中最小的一个数，则h的最大值为    ．

10. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=a∈（0，1]，且a_n+1=，若对任意的，总有a_n+3=a_n成立，则a的值为    ．

11. 难度：中等

若数列{a_n}满足a_n+1²-a_n²=d（其中d是常数，n∈N﹡），则称数列{a_n}是“等方差数列”．已知数列{b_n}是公差为m的差数列，则m=0是“数列{b_n}是等方差数列”的    条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个）

12. 难度：中等

设定义在[a，b]（a≥-4）上的函数f（x），若函数与f（x）的定义域与值域都相同，则实数m的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知O为坐标原点，，，=（0，a），，记、、中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=，若对于任意实数x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是    ．

15. 难度：中等

某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：

学历	35岁以下	35～50岁	50岁以上
本科	80	30	20
研究生	x	20	y

（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．

16. 难度：中等

已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点．
（Ⅰ）求证：OM⊥平面BDD′；
（Ⅱ）A′B′上是否存在点N使A′N∥面MCD′，并证明你的结论；
（Ⅲ）求三棱锥M-OBC的体积．

17. 难度：中等

在△ABC，已知，求角A，B，C的大小．

18. 难度：中等

已知动点P（x，y）与两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．
（1）求动点P的轨迹C的形状；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=-2时，过E（1，0）作两条互相垂直直线l₁、l₂，且分别与轨迹C交于A、B两点，探究直线AB是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；否则，说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-2x-2+lnx，a∈R．
（1）当a=0时，求f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）在（1，+∞）上只有一个极值点，求实数a的取值范围；
（3）对于任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|x₁-x₂|≤f（x₁）-f（x₂）|，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且S_n=2n+7-2a_n．
（1）求证：{a_n-2}为等比数列；
（2）是否存在实数k，使得a_n≤n³+kn²+9n对于任意的n∈N^*都成立，若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=，属于特征值1的一个特征向量为α₂=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点，又点P的坐标为（1，2）．
求：（1）线段AB的中点坐标；
（2）线段AB的长；
（3）|PA-PB|的值．

24. 难度：中等

已知x，y，z均为正数．求证：．

25. 难度：中等

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；
（3）求二面角B-EF-A的余弦．

26. 难度：中等

已知n是不小于3的正整数，，．
（1）求a_n，b_n；
（2）设，求证：．