2010年江苏省南通市通州区高三4月模拟数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

复数等于    ．

2. 难度：中等

对于集合M、N，定义M-N={x|x∈M，且x∉N}，M⊕N=（M-N）∪（N-M）．设A={t|t=x²-3x}，B={x|y=lg（-x）}，则A⊕B为    ．

3. 难度：中等

若，且α是第二象限角，则tanα=    ．

4. 难度：中等

设x＞0，y＞0，且x+y=1，则xy的最大值为    ．

5. 难度：中等

在△ABC中，若∠B=120°，AB=1，BC=2，则AC=    ．

6. 难度：中等

设向量=（3，-2），=（1，2），若+λ与垂直，则实数λ=    ．

7. 难度：中等

直线2x-y+m=0与圆x²+y²=5相切，则m的值为    ．

8. 难度：中等

如图是某次歌咏比赛中，七位评委为某参赛选手打出分数的茎叶图．去掉一个最高分，再去掉一个最低分，则所剩数据的平均数和方差分别为    ．

7	9
8	4	4	6	4	7
9	3

9. 难度：中等

执行图所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为    ．

10. 难度：中等

如图所示，墙上挂有一长为2π宽为2的矩形木板ABCD，它的阴影部分是由y=sinx，的图象和直线y=1围成的图形，某人向此板投飞镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每一点的可能性相同，则他击中阴影部分的概率是     ．

11. 难度：中等

设{a_n}是等差数列，若a₅=4，则其前9项的和S₉=    ．

12. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）的图象经过点，则的值为    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，（n≥2，n∈N^*），则a₂₀₁₀=    ．

14. 难度：中等

已知是R上的增函数，则a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．

16. 难度：中等

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，求证：
（Ⅰ）EF∥平面PAB；
（Ⅱ）平面PAD⊥平面PDC．

17. 难度：中等

已知定点A、B间的距离为2，以B为圆心作半径为2的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
（1）建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线；
（2）试判断l与曲线C的位置关系，并加以证明．

18. 难度：中等

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2；
（3）正数数列{c_n}中，a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{c_n}中的最大项．

19. 难度：中等

时值5月，荔枝上市．某市水果市场由历年的市场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的售价S（t）（单位：元/kg）与上市时间t（单位：天）的关系大致可用如图1所示的折线ABCD表示，每天的销售量M（t）（单位：吨）与上市时间t（单位：天）的关系大致可用如图2所示的抛物线段OEF表示，其中O为坐标原点，E是抛物线的顶点．
（1）请分别写出S（t），M（t）关于t的函数关系式；
（2）在这60天内，该水果市场哪天的销售额最大？

20. 难度：中等

已知函数和函数g（x）=lnx，记F（x）=f（x）+g（x）．
（1）当时，若f（x）在[1，2]上的最大值是f（2），求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，判断F（x）在其定义域内是否有极值，并予以证明；
（3）对任意的，若F（x）在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a的取值范围．