2010年山东省济宁五中高三5月模拟数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数满足z（1+i）=2i，则复数的实部与虚部之差为（ ）
A．0
B．-1
C．-3
D．3

2. 难度：中等

为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（ ）
A．30
B．60
C．70
D．80

3. 难度：中等

已知集合S={x|＜0}，T={x|x²-（2a+1）x+a²+a≥0} （a∈R），若S∪T=R，则实数a的取值范围是（ ）
A．-1≤a≤1
B．-1＜a≤1
C．0≤a≤1
D．0＜a≤1

4. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n，若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）
A．n≤8？
B．n≤9？
C．n≤10？
D．n≤11？

5. 难度：中等

已知向量a=（sin（α+），1），b=（4，4cosα-），若a⊥b，则sin（α+）等于（ ）
A．-
B．-
C．
D．

6. 难度：中等

若（1-x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且a₁：a₃=1：7，则a₅等于（ ）
A．35
B．-35
C．56
D．-56

7. 难度：中等

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内任取一点，则点P到点A的距离小于等于a的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数y=ln的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α； 
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β； 
③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β； 
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

已知点P（x，y）满足，点Q（x，y）在圆（x+2）²+（y+2）²=1上，则|PQ|的最大值与最小值为（ ）
A．6，3
B．6，2
C．5，3
D．5，2

11. 难度：中等

设S_n是各项都是正数的等比数列{a_n}  的前n项和，若，则公比q的取值范围是（ ）
A．q＞0
B．0＜q≤1
C．0＜q＜1
D．0＜q＜1或q＞1

12. 难度：中等

在周长为16的△PMN中，MN=6，则的取值范围是（ ）
A．[7，+∞）
B．（0，7]
C．（7，16]
D．[7，16）

二、解答题

13. 难度：中等

已知抛物线和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，抛物线的顶点为坐标原点，则双曲线的标准方程是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为    ．

15. 难度：中等

一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图的面积分别是1，2，4，则这个几何体的体积为    ．

16. 难度：中等

给出下列四个命题：
①命题：“设a，b∈R，若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“设a，b∈R，若ab≠0，则a≠0且b≠0”； 
②将函数y=sin（2x+）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数y=cosx的图象； 
③用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•2•3…（2n-1）（n∈N^*）时，从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的一个因式是2（2k+1）； 
④函数f（x）=e^x-x-1（x∈R）有两个零点．
其中所有真命题的序号是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且满足b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．

18. 难度：中等

某甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子；某乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子．
（Ⅰ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一个球，直到取到红球为止，求甲取球次数ξ的数学期望；
（Ⅱ）若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时为乙胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有的棱长都为2，∠A₁AC=60°
（Ⅰ）求证：A₁B⊥AC；
（Ⅱ）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时，求平面A₁B₁C₁与平面ABC所成的锐角的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）当a=1时，∃x∈[1，e]使不等式f（x）≤m，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

椭圆与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的取值范围．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若，求数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）设Q={x|x=k_n，n∈N^*}，R={x|x=2a_n，n∈N^*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．