2010年广东省广州市高三综合测试数学试卷2（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（∁_UA）=（ ）
A．{5}
B．{1，2，5}
C．{1，2，3，4，5}
D．∅

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，若复数（a²-1）+（a+1）i为实数，则实数a的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．-1或1

3. 难度：中等

在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图所示的算法流程图中，若f（x）=2^x，g（x）=x³，则h（2）的值为（ ）

A．9
B．8
C．6
D．4

5. 难度：中等

命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（ ）
A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数

6. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2

7. 难度：中等

若x＜0且a^x＞b^x＞1，则下列不等式成立的是（ ）
A．0＜b＜a＜1
B．0＜a＜b＜1
C．1＜b＜a
D．1＜a＜b

8. 难度：中等

函数是（ ）
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为π的奇函数

9. 难度：中等

高8m和4m的两根旗杆笔直地竖在水平地面上，且相距10m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x-sinx，若且f（x₁）＜f（x₂）＞0，则下列不等式中正确的是（ ）
A．x₁＞x₂
B．x₁＜x₂
C．x₁+x₂＜0
D．x₁+x₂＜0

二、解答题

11. 难度：中等

已知向量，满足||=1，||=2，•=1，则与的夹角大小是    ．

12. 难度：中等

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率e=2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为     ．

13. 难度：中等

如图是一个有n层（n≥2）的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第n层每边有n个点，这个点阵的点数有    个．

14. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π]），则直线l被圆C所截得的弦长为     ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题） 如图，半径为5的圆O的两条弦AD和BC相交于点P，OD⊥BC，P为AD的中点，BC=6，则弦AD的长度为    ．

16. 难度：中等

已知．
（1）求tanα的值；
（2）求tan（α+2β）的值．

17. 难度：中等

某学校课题小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（满分100分）如下表所示：

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数学成绩	95	75	80	94	92	65	67	84	98	71	67	93	64	78	77	90	57	83	72	83
物理成绩	90	63	72	87	91	71	58	82	93	81	77	82	48	85	69	91	61	84	78	86

若单科成绩85分以上（含85分），则该科成绩为优秀．
（1）根据上表完成下面的2×2列联表（单位：人）：

	数学成绩优秀	数学成绩不优秀	合计
物理成绩优秀
物理成绩不优秀
合计			20

（2）根据题（1）中表格的数据计算，有多大的把握，认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？
（3）若从这20个人中抽出1人来了解有关情况，求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率．
参考数据：
①假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x₁，x₂}和{y₁，y₂}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：

	y1	y2	合计
x1	a	b	a+b
x2	c	d	c+d
合计	a+c	b+d	a+b+c+d

则随机变量，其中n=a+b+c+d为样本容量；
②独立检验随机变量K²的临界值参考表：

P（K^2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

18. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，点M是BC的中点，点N是AA₁的中点．
（1）求证：MN∥平面A₁CD；
（2）过N，C，D三点的平面把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值．

19. 难度：中等

我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．
某市用水收费标准是：水费=基本费+超额费+定额损耗费，且有如下三条规定：
①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；
②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；
③每户每月的定额损耗费a不超过5元．
（1）求每户每月水费y（元）与月用水量x（立方米）的函数关系；
（2）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：

月份	用水量（立方米）	水费（元）
一	4	17
二	5	23
三	2.5	11

试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．

20. 难度：中等

已知椭圆的右焦点F₂与抛物线C₂：y²=4x的焦点重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，．圆C₃的圆心T是抛物线C₂上的动点，圆C₃与y轴交于M，N两点，且|MN|=4．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）证明：无论点T运动到何处，圆C₃恒经过椭圆C₁上一定点．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁，且对任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，．
（1）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（2）证明：（1+a_n）ⁿ⁺¹•b_nⁿ＞1．