2010年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．-1+i
B．1+i
C．-2+2i
D．2+2i

2. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）的图象经过点，则的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．1

3. 难度：中等

若函数f（x）=x²+ax（a∈R），则下列结论正确的是（ ）
A．∃a∈R，f（x）是偶函数
B．∃a∈R，f（x）是奇函数
C．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数
D．∀a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数

4. 难度：中等

如图是某次歌咏比赛中，七位评委为某参赛选手打出分数的茎叶图．去掉一个最高分，再去掉一个最低分，则所剩数据的平均数和方差分别为

7	9
8	4	4	6	4	7
9	3

（ ）
A．84，4.84
B．84，1.6
C．85，4
D．85，1.6

5. 难度：中等

直线2x-y+m=0与圆x²+y²=5交于A、B，O为坐标原点，若OA⊥OB，则m的值为（ ）
A．±5
B．
C．
D．

6. 难度：中等

执行图所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为（ ）
A．a≥5
B．a≥4
C．a≥3
D．a≥2

7. 难度：中等

用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图，则此立体模型的表面积为（ ）

A．24
B．23
C．22
D．21

8. 难度：中等

对于集合M、N，定义M-N={x|x∈M，且x∉N}，M⊕N=（M-N）∪（N-M）．设A={t|t=x²-3x}，B={x|y=lg（-x）}，则A⊕B为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

圆的参数方程（θ为参数）化成普通方程为    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=7，则AC=    ．

11. 难度：中等

设向量=（3，-2），=（1，2），若+λ与垂直，则实数λ=    ．

12. 难度：中等

如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心，已知PA=6，，PO=12，则⊙O的半径为    ．

13. 难度：中等

已知是R上的增函数，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，（n≥2，n∈N^*），则a₂₀₁₀=    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若，求f（x）的最大值与最小值的和．

16. 难度：中等

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E．F分别是PC．PD的中点，PA=AB=1，BC=2．
（I）求证：EF∥平面PAB；
（II）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（III）求二面角A-PD-B的余弦值．

17. 难度：中等

设不等式组确定的平面区域为U，确定的平面区域为V．
（I）定义坐标为整数的点为“整点”．在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（II）在区域U内任取3个点，记此3个点在区域V的个数为X，求X的概率分布列及其数学期望．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x²e^-ax，其中a＞0．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）求f（x）在[1，2]上的最大值

19. 难度：中等

已知抛物线x²=2py（p＞0）与直线交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）当k=1时，求线段AB的长；
（II）当k在R内变化时，求线段AB中点C的轨迹方程；
（III）设l是该抛物线的准线．对于任意实数k，l上是否存在点D，使得？如果存在，求出点D的坐标；如不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n-n（n-1）（n∈N^*），且．
（I）求a₂与a₃；
（II）求证：数列是等差数列；
（III）试比较a₁+2a₂+3a₃+…+na_n与2ⁿ⁺¹-n-2的大小，并说明理由．