2010-2011学年广东省揭阳一中高三（下）第一次测试数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设 （其中i 是虚数单位），则|z|=（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

2. 难度：中等

设M、N是两个集合，且M={x||x+2|≤1}，N={x|x=2sina，a∈R}，则M∪N=（ ）
A．[-3，2]
B．[-3，1]
C．[-2，1]
D．[-3，-2]

3. 难度：中等

已知正方形ABCD的边长为1，=，=，=，则||等于（ ）
A．0
B．2
C．
D．3

4. 难度：中等

我们把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）
则第七个三角形数是（ ）
A．27
B．28
C．29
D．30

5. 难度：中等

如图所示的程序框图运行后的输出的结果是（ ）

A．4
B．8
C．12
D．16

6. 难度：中等

已知圆（x-a）²+y²=4被直线x+y=1所截得的弦长为2，则实数a的值为（ ）
A．0或4
B．1或3
C．-2或6
D．-1或3

7. 难度：中等

在某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如图所示的频率分布直方图，则车速不小于90km/h的汽车有辆．（ ）

A．60
B．90
C．120
D．150

8. 难度：中等

若不等式f（x）=ax²-x-c＞0的解集{x|-2＜x＜1}，则函数y=f（-x）的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若函数f（x）=sinax+cosax（a＞0）的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为（ ）
A．
B．（0，0）
C．
D．

10. 难度：中等

若x、y满足不等式组，则x＜y的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b²．则函数f（x）=（1⊕x）•x-（2⊕x）（x∈[-2，2]）的最大值等于（ ）
A．-1
B．1
C．6
D．12

二、解答题

12. 难度：中等

若关于x的方程x²+2（a+1）x+2a+1=0有且仅有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知约束条件：，则目标函数z=|2x-y+1|的最小值是    ．

14. 难度：中等

过抛物线x²=4y的焦点F作与y轴垂直的直线与抛物线相交于点P，则抛物线在点P处的切线l的方程为    ．

15. 难度：中等

极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为    ．

16. 难度：中等

如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，则AF：FC=    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若=k（k∈R）
（1）判断△ABC的形状； 
（2）若c=，求k的值．

18. 难度：中等

箱中装有9张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到9中的一个号码，正面号码为n的卡片反面标的数字是n²-7n+12（卡片正反面用颜色区分）
（1）如果任意取出一张卡片，试求正面数字不大于反面数字的概率；
（2）如果同时取出两张卡片，试求它们反面数字相同的概率．

19. 难度：中等

已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，AB=4，AD=6，∠PDA=45°
（1）求证：MN⊥平面PCD；
（2）求四面体PMND的体积．

20. 难度：中等

已知圆C方程为：x²+y²=4．
（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；
（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

21. 难度：中等

设f（x）=（a≠0），令a₁=1，a_n+1=f（a_n），又b_n=a_n•a_n+1，n∈N^*
（1）判断数列{}是等差数列还是等比数列并证明；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}的前n项和．

22. 难度：中等

已知f（x）=ln（ax+b）-x，其中a＞0，b＞0
（1）求f（x）在[0，+∝）上是减函数的充要条件；
（2）求f（x）在[0，+∝）上的最大值；
（3）解不等式in（1+）-≤ln2-1．