2011年上海市高考数学模拟试卷2（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

矩阵，，则2A-3B=    ．

2. 难度：中等

参数方程（α为参数）化为普通方程，则这个方程是    ．

3. 难度：中等

在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为    ．

4. 难度：中等

某组样本数据为2、3、-1、0、-3、4、2，试计算总体标准差的点估计值    ．

5. 难度：中等

若角α终边落在射线3x-4y=0（x≤0）上，则=    ．

6. 难度：中等

如图P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P₂，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P₃、P₄、…..P_n…，记纸板P_n的面积为S_n，则=    ．

7. 难度：中等

已知椭圆4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k为参数），存在一条直线，使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于，求直线方程    ．

8. 难度：中等

不等式≥2的解集为    ．

9. 难度：中等

设|z₁|=5，|z₂|=2，|z₁-|=，求=    ．

10. 难度：中等

已知函数和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完全相同．若，则f（x）的取值范围是    ．

11. 难度：中等

对任意的a、b、c∈R⁺，代数式的最小值为    ．

12. 难度：中等

△ABC内接于以O为圆心半径为1的圆，且，则△ABC的面积S=    ．

13. 难度：中等

函数f（x）的定义域是D，任意的a，b∈D，有，f（x）的反函数为H（x），已知H（a），H（b），则H（a+b）=    ．

14. 难度：中等

如图，4×4的方阵共16个黑点中，中间的4个点在一个圆内，其余的12个点内在圆外，若从这16个点中任取3个，使之构成三角形，且至少有一个顶点在圆内的三角形共有    ．

二、选择题

15. 难度：中等

行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），1+f（x）的零点属于区间（ ）
A．（，1）
B．（，）
C．（，）
D．（0，）

16. 难度：中等

函数f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，若x=g[f（x）]方程有解，则函数g[f（x）]不可能是（ ）
A．x²+x-
B．x²-
C．x²+x+
D．x²+

17. 难度：中等

设abc＞0，二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

有一堆形状、大小都相同的珠子，其中有一颗比其它的要轻，假设用天平三次一定能找到这颗珠子，则这堆珠子最多有几颗（ ）
A．24
B．27
C．30
D．33

三、解答题

19. 难度：中等

如图，直三棱柱容器ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=，其容积为10（L），高为4（dm），且在棱AA₁和CC₁上有D、E两处泄露，DA₁=3（dm），EC₁=2（dm），则此容器最多能盛水多少．

20. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C，的对边，且．
（1）求角B的大小．
（2）在△ABC中，作角B的角平分线，交AC于D，求证+=．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为为实数），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]上恒成立，试求k的取值范围．

22. 难度：中等

已知{a_k}数列是等差数列．
（1）若m+n=p+q，求证a_m+a_n=a_p+a_q．
（2）若a_k=2k-1，求证a₁²+a₂²+…+a_k²=k（4k²-1）．
（3）若对于给定的正整数s，有a₁²+a_s+1²=1，求S=a_s+1+…+a_2s+a_2s+1的最大值．

23. 难度：中等

已知双曲线C：（a＞0，b＞0）
（1）若a=4，b=3，过点P（6，3）的动直线l与双曲线C相交与不同两点A，B时，在线段AB上取点Q，满足，求证点Q总在某定直线上．
（2）在双曲线C：（a＞0，b＞0），过双曲线外一点P（m，n）的动直线l与双曲线C相交与不同两点A，B时，在线段AB上取点Q，满足，则点Q在哪条定直线上？
（3）试将该结论推广至其它圆锥曲线上，证明其中的一种情况，并猜想该直线具有的性质．