2010年福建省高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a∈R，若（a-i）²i（i为虚数单位）为正实数，则a=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

2. 难度：中等

已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

下列向量中与向量平行的是（ ）
A．（-4，6）
B．（4，6）
C．（-3，2）
D．（3，2）

5. 难度：中等

函数f（x）=xlg（1+x²）是（ ）
A．奇函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数

6. 难度：中等

设函数y=f（x）在区间（0，+∞）内是减函数，则a=f（sin），b=f（sin），c=f（sin）的大小关系是（ ）
A．c＞b＞a
B．b＞c＞a
C．b＞a＞c
D．a＞b＞c

7. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₃+a₇=10，则S₉=（ ）
A．45
B．50
C．55
D．90

8. 难度：中等

统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（ ）

A．20%
B．25%
C．6%
D．80%

9. 难度：中等

将函数y=sinx的图象按向量平移得到的图象对应的一个函数解析式是（ ）
A．y=-1+sin（x+1）
B．y=1+sin（x+1）
C．y=-1+sin（x-1）
D．y=1+sin（x-1）

10. 难度：中等

设a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的一个排列，把排在a_i的左边且比a_i小的数的个数称为a_i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（ ）
A．48
B．96
C．144
D．192

二、解答题

11. 难度：中等

命题“∀x∈R，sinx≥-1”的否定是    ．

12. 难度：中等

已知某算法的流程图如图所示，若将输出的数组（x，y）依次记为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），…，则程序运行结束时输出的最后一个数组为    ．

13. 难度：中等

曲线y=2x-lnx在点（1，2）处的切线方程是    ．

14. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组则3x-y的最小值是    ．

15. 难度：中等

定义：我们把阶乘的定义引申，定义n!!=n（n-2）（n-4）…，若n为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!!=0．我们称之为双阶乘（Double Factorial）n对夫妇任意地排成一列，则每位丈夫都排在他的妻子后面的概率是    ．（结果用含双阶乘的形式表示）

16. 难度：中等

某投资公司在2010年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．

17. 难度：中等

如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．
（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；
（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．

18. 难度：中等

一走廊拐角下的横截面如图所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧BC相切于B、C两点，EF∥AB，GH∥CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m．
（1）若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P．设∠CMN=θ（rad），试用θ表示木棒MN和长度f（θ）．
（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．

19. 难度：中等

已知椭圆的某个焦点为F，双曲线（a，b＞0）的某个焦点为F．
（1）请在______

20. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．

21. 难度：中等

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多作，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中．
（1）选修4一2：矩阵与变换
求矩阵的特征值及对应的特征向量．
（2）选修4一4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．
（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求实数x的范围．