2010年广东省广州市海珠区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，4}，∁_UB={4，5}，则A∩B=（ ）
A．{1，2}
B．{4}
C．{1，2，3}
D．{3，5}

2. 难度：中等

若平面向量满足，，，则=（ ）
A．（1，-1）
B．（1，-1）或（-1，1）
C．（-1，1）
D．（1，1）或（-1，-1）

3. 难度：中等

（2x+1）⁶展开式中x²的系数为（ ）
A．30
B．120
C．60
D．15

4. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}前n项和，若a₄=9，S₃=15，则数列{a_n}的通项为（ ）
A．2n-3
B．2n-1
C．2n+1
D．2n+3

5. 难度：中等

给定下列四个命题：
①若两个平面互相垂直，那么分别在这两个平面内的任意两条直线也互相垂直；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．
④若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
其中，为真命题的是（ ）
A．①和③
B．②和③
C．③和④
D．①和②

6. 难度：中等

已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

7. 难度：中等

直角梯形ABCD如图1，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f（x）．如果函数y=f（x）的图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）

A．10
B．32
C．18
D．16

8. 难度：中等

一圆形纸片的圆心为原点O，点Q是圆外的一定点，A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时P的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆

二、解答题

9. 难度：中等

阅读如图所示的流程图，若，b=2sin15°cos15°，则输出的数是    ．
（以数字作答）．

10. 难度：中等

如图，矩形ABCD，AB=2，BC=1，A，B两点关于坐标原点对称，在矩形ABCD内随机撒一把黄豆，落在曲线y=x²与x轴所围成阴影部分的概率为    ．

11. 难度：中等

随机变量X的分布列如下：若，则DX的值是     ．

12. 难度：中等

在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：c²=a²+b²．设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，如果用S₁，S₂，S₃表示三个侧面面积，S₄表示截面面积，那么你类比得到的结论是    ．

13. 难度：中等

直线ρcosθ=2截圆（θ为参数）所得的弦长为    ．

14. 难度：中等

（不等式选讲选做题）|x-3|+|x-5|≥4的解集是    ．

15. 难度：中等

如图⊙0的直径AD=2，四边形ABCD内接于⊙0，直线MN切⊙0于点B，∠MBA=30°，则AB的长为    ．

16. 难度：中等

在锐角三角形ABC中，BC=1，，．
（1）求AC的值；
（2）求sin（A-B）的值．

17. 难度：中等

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为此市政府首先采用抽样调查的方法获得了n位居民某年的月均用水量（单位：吨）．根据所得的n个数据按照区间[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），[1.5，2），[2，2.5），[2.5，3），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5]进行分组，得到频率分布直方图如图
（1）若已知n位居民中月均用水量小于1吨的人数是12，求n位居民中月均用水量分别在区间[2，2.5）和[2.5，3）内的人数；
（2）在该市居民中随意抽取10位，求至少有2位居民月均用水量在区间[2，2.5）或[2.5，3）内的概率．（精确到0.01．参考数据：0.61⁹≈0.012，0.61¹⁰≈0.0071）

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，D、E分别是BB₁、CC₁的中点，M是DE的中点．
（1）求证：DE⊥平面AMA₁；
（2）求三棱锥A₁-ADE的体积；
（3）求二面角A-DA₁-E的余弦值．

19. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上的动点P引圆O：x²+y²=b²的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，满足S_n=2a_n-1．
（1）求数列的通项a_n及前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若对任意的x∈R，恒有T_n＜x²-ax+2成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数
（1）当x≤0时，函数f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为x-3y+1=0，求m的值；
（2）当x＞0时，设f（x）+1的反函数为g^-1（x）（g^-1（x）的定义域即是f（x）+1的值域）．证明：函数在区间（e，3）内无零点，在区间（3，e²）内有且只有一个零点；
（3）求函数f（x）的极值．