2011年山东省烟台市莱州一中高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．0
B．i
C．1
D．-1

2. 难度：中等

设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤1}，那么“a∈M”是“a∈N”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

二项式的展开式的第二项的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a_n}，若a₃=8，且a₁，a₃，a₇成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）
A．13，12
B．13，13
C．12，13
D．13，14

6. 难度：中等

设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β
B．若l∥α，α∥β，则l⊂β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

7. 难度：中等

若函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上不是单调函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（ ）

A．①③
B．②④
C．②③
D．③④

8. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知平面区域D：y≥1，x-y≤5，则目标函数z=x-2y的最大值是（ ）
A．4
B．2
C．-1
D．-7

10. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=9，过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），当点P在直线2x-y+10=0上运动时，则线段PA的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数为f′（x）=2+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，则实数x的取值范围为（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则A•ω=（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

已知，，则tan2x=    ．

14. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是    ．

15. 难度：中等

已知a、b是不共线的向量，，（λ，μ∈R），则A、B、C三点共线的充要条件是    ．

16. 难度：中等

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x（a＜x＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x是它的一个均值点．如y=x⁴是[-1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=-x²+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是    ．

17. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.，，且．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=1，．求S_△ABC．

18. 难度：中等

已知数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的通项公式是a_n=n+2，数列{a_nb_n}的前n项和为S_n，求S_n．

19. 难度：中等

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为2，AC∩BD=O，则棱AA₁与底面ABCD所成的角为60°，A₁O⊥平面ABCD，F为DC₁的中点．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）证明：OF∥平面BCC₁B₁；
（3）求二面角D-AA₁-C的余弦值．

20. 难度：中等

庐山是我国四大名山之一，从石门涧可徒步攀登至山顶主景区，沿途风景秀丽，右图是从石门涧上山的旅游示意图，若游客在每一分支处选择哪一条路上山是等可能的（认定游客是始终沿上山路线，不往下走，例到G后不会往E方向走）．
（l）茌游客已到达A处的前提下，求经过点F的概率；
（2）在旺季七月份，每天约有1200名游客需由石门涧登山，石门涧景区决定在C、F、G处设售水点，若每位游客在到达C、F、G处条件下买水的概率分别为、、，则景区每天至少供应多少瓶水是合理的？

21. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点（1，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF₂B的面积为，求以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x|x-a|，（a∈R）
（1）若a＞0，解关于x的不等式f（x）＜x；
（2）若对∀x∈（0，1]都有f（x）＜m（m∈R，m是常数），求a的取值范围．