2010-2011学年江西省重点中学协作体高三第三次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若全集U=R，集合A={x|x²+3x-4＜0}，B={x|y=log₃（x+2）}，则C_U（A∩B）=（ ）
A．{x|x≤-4或x≥1}
B．{x|x＜-4或x＞1}
C．{x|x＜-2或x＞1}
D．{x|x≤-2或x≥1}

2. 难度：中等

已知命题q：存在x∈R，使得ax²+2x+1＜0成立，当¬q为假命题时，实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，1）
B．（-∞，1]
C．[0，1）
D．[1，+∞）

3. 难度：中等

平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

4. 难度：中等

函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．给出下列函数：
①f（x）=sinx+cosx；
②f（x）=（sinx+cosx）；
③f（x）=sinx；
④f（x）=．
其中“互为生成”函数的是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

6. 难度：中等

已知实数x∈[0，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于47的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在△ABC中，AD为BC边上的中线，，则=（ ）
A．
B．2
C．
D．3

8. 难度：中等

如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果三个直角三角形的面积之和为72，那么这个几何体的外接球的表面积的最小值为（ ）

A．72π
B．144π
C．288π
D．不能确定

9. 难度：中等

已知一个四位数其各个位置上的数字是互不相等的非负整数，且各个数字之和为12，则这样的四位数的个数是（ ）
A．108
B．128
C．152
D．174

10. 难度：中等

在数列{2ⁿ-1}的前2011项中任意选取若干项相乘（当只取到一项时，乘积就为所选项本身），记所有这样的乘积和为S，则log₂（S+1）的值为（ ）
A．1005×2011
B．1006×2011
C．2010×2011
D．2011×2011

二、解答题

11. 难度：中等

i是虚数单位，在1，2，3…2011中有    个正整数能使得（1+i）²ⁿ=2ⁿi成立．

12. 难度：中等

2¹×1=2，2²×1×3=3×4，2³×1×3×5=4×5×6，2⁴×1×3×5×7=5×6×7×8，…依此类推，第n个等式为    ．

13. 难度：中等

若，则将a，b，c从小到大排列的结果为    ．

14. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0），圆O：x²+y²=b²，过椭圆上任一与顶点不重合的点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，则=    ．

15. 难度：中等

已知在极坐标系下，点是极点，则A，B两点间的距离|AB|=    ；△AOB的面积等于    ．

16. 难度：中等

关于x的不等式的解集是    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．

18. 难度：中等

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），
已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥面ABC，，A₁C=CA=AB=a，AB⊥AC，D为AA₁中点．
（1）求证：CD⊥面ABB₁A₁；
（2）在侧棱BB₁上确定一点E，使得二面角E-A₁C₁-A的大小为．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足（n∈N^*），．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若且，求证：c₁+c₂+…+c_n＜n+1．

21. 难度：中等

如图，已知A是椭圆上的一个动点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，弦AB过点F₂，当AB⊥x轴时，恰好有|AF₁|=3|AF₂|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P是椭圆的左顶点，PA，PB分别与椭圆右准线交与M，N两点，求证：以MN为直径的圆D一定经过一定点，并求出定点坐标．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域；
（2）是否存在实数a，对任意给定的x∈（0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x）成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）给出如下定义：对于函数y=F（x）图象上任意不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果对于函数y=F（x）图象上的点M（x，y）（其中总能使得F（x₁）-F（x₂）=F'（x）（x₁-x₂）成立，则称函数具备性质“L”，试判断函数f（x）是不是具备性质“L”，并说明理由．