2010年辽宁省抚顺三中高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，A={x|-2≤x≤1}，B={x|-2＜x＜1}，C={x|x＜-2或x＞1}，D={x|x²+x-2≥0}，则下列结论正确的是（ ）
A．C_RA=B
B．C_RB=C
C．C_RC=A
D．C_RA=D

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，m和n都是实数，且有=1+ni，则复数m+ni的倒数是（ ）
A．i
B．i
C．i
D．i

3. 难度：中等

已知命题p：a＜1且a≠0，命题q：一元二次方程ax²+2x+1=0（a≠0）至少有一个负的实数根，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

右图给出的是计算1+2+4+…+2¹⁹的值的一个程序框图，则其中空白的判断框内，应填入下列四个选项中的（ ）

A．i≥19
B．i≥20
C．i≤19
D．i≤20

5. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁＞0，a₁₀•a₁₁＜0，若此数列的前10项和S₁₀=36，前18项和S₁₈=12，则数列{|a_n|}的前18项和T₁₈的值是（ ）
A．24
B．48
C．60
D．84

6. 难度：中等

曲线f（x）=ωsinωx+ωcosωx（ω＞0，x∈R）上的一个最大值点为P，一个最小值点为Q，则P、Q两点间的距离|PQ|的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．2

7. 难度：中等

设O为△ABC的外心，OD⊥BC于D，且||=，||=1，则的值是（ ）
A．1
B．2
C．
D．

8. 难度：中等

科研室的老师为了研究某班学生数学成绩x与英语成绩y的相关性，对该班全体学生的某次期末检测的数学成绩和英语成绩进行统计分析，利用相关系数公式r=，计算得r=-0.001，并且计算得到线性回归方程为y=bx+a，其中b=，a=．由此得该班全体学生的数学成绩x与英语成绩y相关性的下列结论正确的是（ ）
A．相关性较强且正相关
B．相关性较弱且正相关
C．相关性较强且负相关
D．相关性较弱且负相关

9. 难度：中等

过双曲线-=1（m＞0，n＞0）上的点P（，-）作圆x²+y²=m的切线，切点为A、B，若=0，则该双曲线的离心率的值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．

10. 难度：中等

甲、乙两人因工作需要每天都要上网查找资料，已知他们每天上网的时间都不超过2小时，则在某一天内，甲上网的时间不足乙上网时间的一半的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥n，m⊥α，n⊊α，则n∥α；
②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．
则其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+mx+lnx是单调递增函数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞-2
B．m≥-2
C．m＜2
D．m≤2

二、解答题

13. 难度：中等

已知函数f（x）满足，则不等式f（x）＞0的解集是    ．

14. 难度：中等

如图是一个长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截去一个角后的多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4，BC=6，CC₁=3．则这个多面体的体积为    ．

15. 难度：中等

若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为    ．

16. 难度：中等

已知顶点在坐标原点的抛物线C的准线方程为x=-，直线l：y=-x+2，则由抛物线C及直线l所围成的平面图形的面积是    ．

17. 难度：中等

已知各项为正数的数列{a_n}满足a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=（4n³-n），（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）记数列{na_n}的前n项和为T_n，试用数学归纳法证明对任意n∈N^*，都有T_n≤nS_n．

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=，AA₁=3，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求平面ABM与平面AB₁C₁所夹锐角的余弦值．

19. 难度：中等

国际标准游泳池长50m，宽至少21m，深1.80m以上，设8条泳道，每条泳道宽2.50m，分道线由直径5～10cm的单个浮标连接而成．某位游泳教练员指导甲、乙两名游泳运动员在这样国际标准的游泳池内同时进行游泳训练，甲、乙两名运动员可以随机的选择
不同的泳道进行训练．
（Ⅰ）求甲、乙两名运动员选择的泳道相隔数的分布列和期望；
（Ⅱ）若教练员为避免甲、乙两人训练的相互干扰，要求两人相隔的泳道数不少于2，为了同时计时的方便，又要求两人相隔的泳道数不能超过4，求甲、乙两名运动员随机的选择不同的泳道训练恰好符合教练员的要求的概率．

20. 难度：中等

设椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（a，0），B（0，-b），原点O到直线AB的距离为．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=2x+m与椭圆M相交于C、D不同两点，经过线段CD上点E的直线与y轴相交于点P，且有=0，||=||，试求△PCD面积S的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-ax+1）e^x（a为常数，e为自然对数的底）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=0，且经过点P（0，t）（t≠1）有且只有一条直线与曲线f（x）相切，求t的取值范围

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．
（Ⅰ）求证：OE=AC；
（Ⅱ）求证：=．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为（θ为参数，且0≤θ≤2π），点M是曲线C₁上的动点．
（Ⅰ）求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsin+1=0（ρ＞0），求点P到直线l距离的最大值．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-3|-2，g（x）=-|x+1|+4．
（1）若函数f（x）得值不大于1，求x得取值范围；
（2）若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集为R，求的取值范围．