2010年湖南省益阳市沅江市高三第一次质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，A={x||x-a|＜2}，B={x||x-1|≥3}，且A∩B=∅，则a的取值范围是（ ）
A．[0，2]
B．（-2，2）
C．（0，2]
D．（0，2）

2. 难度：中等

若函数f（x）=x³+x²-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f （1）=-2	f （1.5）=0.625	f （1.25）=-0.984
f （1.375）=-0.260	f （1.4375）=0.162	f （1.40625）=-0.054

那么方程x³+x²-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5

3. 难度：中等

一只蚂蚁在三边边长分别为5，6，7的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

把函数y=sin（ωx+φ）（其中φ为锐角）的图象向右平移个单位或向左平移个单位都可使对应的新函数成为奇函数，则原函数的一条对称轴方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设m，n是平面α内的两条不同直线，l₁，l₂是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）
A．m∥β且l∥α
B．m∥l₁且n∥l₂
C．m∥β且n∥β
D．m∥β且n∥l₂

6. 难度：中等

已知O为原点，若点A、B的坐标分别为（a，0）、（0，a），a∈R⁺，当点P在线段AB上，且，（0≤t≤1），则的最大值是（ ）
A．a
B．2a²
C．a²
D．3a

7. 难度：中等

椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）的两个焦点分别是F₁、F₂，等边三角形的边AF₁、AF₂与该椭圆分别相交于B、C两点，且2|BC|=|F₁F₂|，则该椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

给定实数x，定义[x]为不大于x的最大整数，则下列结论不正确的是（ ）
A．x-[x]≥0
B．y=x-[x]没有最大值
C．y=x-[x]是周期函数
D．y=x-[x]是偶函数

二、解答题

9. 难度：中等

计算的结果是    ．

10. 难度：中等

用演绎推理证明y=x²（0，+∞）是增函数时，大前提是    ．

11. 难度：中等

如右图：AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D．若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为    cm．

12. 难度：中等

曲线y=xe^x+2x+1在点（0，1）处的切线与x轴及直线x+3y-3=0所围成的三角形面积为    ．

13. 难度：中等

直线（t为参数）与圆x²+y²=1有两个交点A，B，若点P的坐标为（2，-1），则|PA|•|PB|=    ．

14. 难度：中等

在右图的程序框图中，该程序框图输出的结果是28，则序号①应填入的条件是    ．

15. 难度：中等

对于各数互不相等的正数数组（i₁，i₂，…，i_n）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有i_p＞i_q，则称i_p与i_q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆）的“逆序数”是2，则（a₆，a₅，a₄，a₃，a₂，a₁）的“逆序数”是    ．

16. 难度：中等

已知向量：=（cosωx-sinωx，2sinωx），（其中ω＞0），函数f（x）=，若f（x）相邻两对称轴间的距离为．
（1）求ω的值，并求f（x）的最大值及相应x的集合；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，△ABC的面积S=5，b=4，f（A）=1，求边a的长．

17. 难度：中等

一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记a_k=1；出现“×”，则记a_k=-1，令S_n=a₁+a₂+••+a_n．
（I）当p=q=时，记ξ=|S₃|，求ξ的分布列及数学期望；
（II）当p=，q=时，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

18. 难度：中等

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

19. 难度：中等

已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足•=0，=-
（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；
（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S R，求证：抛物线S R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．

20. 难度：中等

设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f'（x），且对任意正数x均有，
（1）判断函数在（0，+∞）上的单调性；
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），比较f（x₁）+f（x₂）与f（x₁+x₂）的大小，并证明你的结论；
（3）设x₁，x₂，…x_n∈（0，+∞），若n≥2，比较f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）与f（x₁+x₂+…+x_n）的大小，并证明你的结论．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^∗）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n= （n∈N^∗），数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S₂与n的大小；
（3）令c_n= （n∈N^*），数列{}的前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有 T_n＜2．