2011年东北三省高考特快信息考试数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x-2|＜1}，那么P-Q等于（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|2≤x＜3}

2. 难度：中等

如果复数m²（1+i）+（m+i）i²为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．0或1

3. 难度：中等

（文）圆心在抛物线y²=2x上，且与该抛物线的准线和x轴都相切的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

将函数f（x）=2sin（2x-θ）-3的图象F按向量a=，平移得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线，则θ的一个可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在正方体上任取三个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

（文）在正方体上任取三个顶点连成三角形，则所得的三角形是等边三角形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若直线l∥平面α，l∥平面β，则α∥β；
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
③一个二面角的两个半平面所在的平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在的平面，则这两个二面角的平面角相等或互为补角；
④过空间任意一点P一定可以作一个和两条异面直线（点P不再此两条异面直线上）都平行的平面．
其中不正确的命题的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

如图，一直线EF截平行四边形ABCD中的两边AB，AD于E，F，且交其对角线于K，其中，，则λ的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组（a为常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a的值为（ ）
A．3+2
B．-3+2
C．-5
D．1

11. 难度：中等

（文）已知等比数列{a_n}的前三项依次为a-2，a+2，a+8，则a_n=（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：
①对任意的x∈R都有f（x）=f（x+4）；
②对于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），
③y=f（x+2）的图象关于y轴对称，
则下列结论中，正确的是（ ）
A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）
B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
C．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
D．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）

13. 难度：中等

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别是E，F，则的最小值是（ ）
A．12
B．10
C．6
D．5

14. 难度：中等

设数列{a_n}的通项a_n=n²+λn+1，已知对任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，则实数λ的取值范围是（ ）
A．λ＞-2
B．λ≥2
C．λ＞-3
D．λ≥-3

15. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（m＞0，n＞0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n²是2m²与c²的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

16. 难度：中等

（理）（x³+3x-1）⁴的展开式中x的系数是    ．

17. 难度：中等

（文）若（1-2x）²⁰⁰⁹=a+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₀₉x²⁰⁰⁹（x∈R），则（a+a₁）+（a+a₂）+（a+a₃）+…+（a+a₂₀₀₉）=    ．

18. 难度：中等

右图所示的算法流程图中，输出的S表达式为    ．

19. 难度：中等

如图AB为半圆的直径，DE为半圆的一条切线，点C为切点，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E交半圆于F，若AD=3，BE=7，那么线段DE的长为    ．

20. 难度：中等

已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与（1，0）到直线的距离之和，则e的取值范围是    ．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；
（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）]²+f（x），求g（x）的值域．

22. 难度：中等

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=x+alnx，其中a为常数，且a≤-1．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）在[e，e²]（e=2.718 28…）上的值域；
（Ⅱ）若f（x）≤e-1对任意x∈[e，e²]恒成立，求实数a的取值范围．

24. 难度：中等

（附加题-必做题）
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（I）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？若存在，请求出F点的位置；若不存在，请说明理由．

25. 难度：中等

已知椭圆的离心率为．
（I）若原点到直线x+y-b=0的距离为，求椭圆的方程；
（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．
（i）当，求b的值；
（ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数λ，μ满足的关系式．

26. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项的和为S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

27. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若，求EC的长．

28. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．

29. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲a，b，c∈R⁺，求证：．