2010年湖北省高考数学模拟试卷（文理合卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={m|m=iⁿ，n∈N}，其中i²=-1，则下面属于M的元素是（ ）
A．（1-i）+（1+i）
B．（1-i）（1+i）
C．
D．（1-i）²

2. 难度：中等

函数的定义域是（ ）
A．（1，2）
B．[1，4]
C．[1，2）
D．（1，2]

3. 难度：中等

“a=1”是“直线y=ax+1和直线y=-ax-1垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁=-2，a₅=-8，则a₃的值为（ ）
A．±4
B．4
C．-4
D．16

6. 难度：中等

如图，已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点的连线过F，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数y=e^|lnx|-|x-1|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

先将函数的周期变为为原来的4倍，再将所得函数的图象向右平移个单位，则所得函数的图象的解析式为（ ）
A．f（x）=2sin
B．
C．f（x）=2sin4
D．

9. 难度：中等

（理科做）已知，x∈（0，π），则sinx的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

（文科做）曲线y=x²上的某点处的切线倾斜角为45°，经过改点的切线方程与y轴及直线2x-y-3=0所围成的三角形的面积是（ ）
A．
B．9
C．
D．4

11. 难度：中等

（理科做）已知函数f（x）=f'（0）cosx+sinx，则函数f（x）在处的切线方程是（ ）
A．x+y-1=0B
B．
C．
D．x+2y-1=0

12. 难度：中等

如图，一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（ ） 
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

任取集合{a，b，c}的一个子集，那么取到的子集中含有2个或3个元素的概率是    ．

14. 难度：中等

（理科做） 如图，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C，则△ACO为钝角三角形的概率为   

15. 难度：中等

有50个数它们的平均数为45．若将其中的两个数33和57舍去，则余下的平均数是    ．

16. 难度：中等

设，当x∈[-1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为     ．

17. 难度：中等

设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足=（+），则=    ．

18. 难度：中等

一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为    ．

19. 难度：中等

已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：
①若m⊂β，α∥β，则m∥α；          ②若m∥β，α∥β，则m∥α；
③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；    ④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．
其中正确的结论有    ．（请将所有正确结论的序号都填上）

20. 难度：中等

在△ABC中，设，
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若的取值范围．

21. 难度：中等

（文科做）由掷骰子两次确定点M（x，y）横，纵坐标，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，
（1）求掷两次所得的横，纵坐标和能被5整除的概率
（2）求掷两次所得的点在直线y=2x上的概率
（3）求掷两次所得的点到两点A（-1，0），B（1，0）距离的和小于6的概率．

22. 难度：中等

质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．
（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；
（2）设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分歧布列及期望Eξ．

23. 难度：中等

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（I）证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．

24. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=-1，且 （n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n 成等差数列．
（Ⅰ）设b_n=（n+1）a_n-n+2，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）（仅理科做） 若a_n-b_n≤kn对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

25. 难度：中等

（文科做）已知点A₁（2，0），A₂（1，t），A₃（0，b），A₄（-1，t），A₅（-2，0），其中t＞0，b为正常数．
（1）半径为2的圆C₁经过A_i（i=1，2，…，5）这五个点，求b和t的值；
（2）椭圆C₂以F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）为焦点，长轴长是4．若A_iF₁+A_iF₂=4（i=1，2，…，5），试用b表示t；
（3）在（2）中的椭圆C₂中，两线段长的差A₁F₁-A₁F₂，A₂F₁-A₂F₂，…，A₅F₁-A₅F₂构成一个数列{a_n}，求证：对n=1，2，3，4都有a_n+1＜a_n．（本小题解答中用到了椭圆的第一定义与焦半径公式，新教材实验区的学生可不解第三小题，请学习时注意）

26. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，P是椭圆C₁上任意一点，设该双曲线C₂：以椭圆C₁的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C₂在第一象限内的任意一点，且
（1）设的最大值为2c²，求椭圆离心率；
（2）若椭圆离心率时，是否存在λ，总有∠BAF₁=λ∠BF₁A成立．

27. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c．
（1）若函数f（x）在区间[-1，0]上是单调递减函数，求a²+b²的最小值；
（2）若函数f（x）的三个零点分别为，求证：a²=2b+3．

28. 难度：中等

（理科做）已知函数f（x）=x²-ax+3在（0，1）上为减函数，函数g（x）=x²-alnx在区间（1，2）上为增函数．
（1）求实数a的值；
（2）当-1＜m＜0时，判断方程f（x）=2g（x）+m的解的个数，并说明理由；
（3）设函数y=f（bx）（其中0＜b＜1）的图象C₁与函数y=g（x）的图象C₂交于P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N．证明：曲线C₁在点M处的切线与曲线C₂在点N处的切线不平行．