2011年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，BC是半径为2的圆O的直径，点P在BC的延长线上，PA是圆O的切线，点A在直径BC上的射影是OC的中点，则∠ABP=    ；PB•PC=    ．

2. 难度：中等

已知点P（2，t）在不等式组表示的平面区域内，则点P（2，t）到直线3x+4y+10=0距离的最大值为    ．

3. 难度：中等

对任意x∈R，函数f（x）满足，设a_n=[f（n）]²-f（n），数列{a_n}的前15项的和为，则f（15）=    ．

4. 难度：中等

已知，．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函数的值域．

5. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是边长为6的正方形．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC₁D；
（Ⅲ）求二面角C-AC₁-D的余弦值．

6. 难度：中等

甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（1）求p的值；
（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点的距离比点P到x轴的距离大，设动点P的轨迹为曲线C，直线l：y=kx+1交曲线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅲ）若曲线C上存在关于直线l对称的两点，求k的取值范围．

9. 难度：中等

在单调递增数列{a_n}中，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n对任意n∈N^*都成立．
（Ⅰ）求a₂的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{a_n}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设，，求证：对任意的n∈N^*，．

二、选择题

10. 难度：中等

若复数（x∈R）为纯虚数，则x等于（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．0或1

11. 难度：中等

给出下列三个命题：
①∀x∈R，x²＞0；
②∃x∈R，使得x²≤x成立；
③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

12. 难度：中等

沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

极坐标方程sin2θ=0（ρ≥0）表示的图形是（ ）
A．两条直线
B．两条射线
C．圆
D．一条直线和一条射线

14. 难度：中等

已知正项数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，2a_n²=a_n+1²+a_n-1²（n≥2），则a₆等于（ ）
A．16
B．8
C．
D．4

15. 难度：中等

已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（ ）
A．
B．
C．3
D．

17. 难度：中等

已知函数则函数y=f[f（x）]+1的零点个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

三、解答题

18. 难度：中等

展开式中x⁴的系数为    （用数字作答）．

19. 难度：中等

某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为    ；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为    ．

	相关人员数	抽取人数
公务员	32	x
教师	48	y
自由职业者	64	4

20. 难度：中等

在△ABC中，若，则∠C=    ．