2010年湖南省高考数学考前冲刺试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

tan600°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知复数Z=（a²-4）+（a-3）i（a，b∈R），则“a=2”是“Z为纯虚数”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

3. 难度：中等

已知向量=（3，4），=（-6，-8），则向量与（ ）
A．互相垂直
B．夹角为60°
C．夹角为30°
D．是共线向量

4. 难度：中等

在粉笔加工设计中，每枝粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为10cm
至15cm范围内经过多次尝试，最后发现12cm长的粉笔最合适．根据上述描述，粉笔长度的最佳点是（ ）
A．10cm
B．15cm
C．12.5cm
D．12cm

5. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前三项依次为t，t-2，t-3．则a_n=（ ）
A．4•（）ⁿ
B．4•2ⁿ
C．
D．4•2^n-1

6. 难度：中等

函数f（x）=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，点E、F分别在棱A₁D₁，AB上，且线段EF的长恒等于2，则EF的中点P的轨迹是（ ）

A．圆的一部分
B．椭圆一部分
C．球面的一部分
D．抛物线一部分

8. 难度：中等

已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数，则的解集为（ ）
A．{x|-1＜x＜1}
B．{x|x＜-1}
C．{x|x＜-1或x＞1}
D．{x|x＞1}

二、解答题

9. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）．
已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是 （t为参数），则直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为    ．

10. 难度：中等

已知正数x、y满足，则z=4^-x的最小值为    ．

11. 难度：中等

一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为    ．

12. 难度：中等

若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是    cm³．

13. 难度：中等

若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC面积之比等于    ．

14. 难度：中等

已知点P是椭圆上一点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，点Q在F₁P上，且|PQ|=|PF₂|，则Q点坐标为    ．

15. 难度：中等

在如表中，用a_m，n表示第m行第n列的数字（例如a_7，2=38），若a_m，n=2009，则m=    ，n=    ．

16. 难度：中等

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（Ⅱ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于l的概率．

17. 难度：中等

如图，已知平面四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AB=AD=2，∠BAD=2θ，记四边形ABCD的面积为S．
（1）将S表示为θ的函数；
（2）求S的最大值及相应的θ值．

18. 难度：中等

如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直．
（1）求证：AF⊥平面CBF；
（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（3）求三棱锥C-BEF的体积．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且满足S_n=2a_n-1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n•b_n=2n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）请阅读如图所示的流程图，根据流程图判断该算法能否有确定的结果输出？并说明理由．

20. 难度：中等

已知两圆Q1：（x+1）²+y²=和Q2：（x-1）²+y²=，动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）过点M（5，0）作直线l与点P的轨迹交于不同两点A、B，试推断是否存在直线l，使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=kx，g（x）=．
（1）若不等式f（x）=g（x）在区间 （）内的解的个数；
（2）求证：．