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2011年北京市朝阳区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
一、选择题
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1. 难度:中等
已知全集U=R,集合A={x|0<2x<1},B={x|log3x>0},则A∩(∁UB)=( )
A.{x|x>1}
B.{x|x>0}
C.{x|0<x<1}
D.{x|x<0}
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2. 难度:中等
设x,y∈R,那么“x>y>0”是“manfen5.com 满分网”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条
D.既不充分又不必要条件
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3. 难度:中等
三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱的正视图(如图所示)的面积为8,则侧视图的面积为( )
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A.8
B.4
C.manfen5.com 满分网
D.manfen5.com 满分网
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4. 难度:中等
已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,则实数a的值为( )
A.1
B.manfen5.com 满分网
C.2
D.4
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5. 难度:中等
若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有( )
A.120个
B.80个
C.40个
D.20个
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6. 难度:中等
点P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到点A(0,-1)的距离与到直线x=-1的距离和的最小值是( )
A.manfen5.com 满分网
B.manfen5.com 满分网
C.2
D.manfen5.com 满分网
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7. 难度:中等
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BB1,DD1上的动点,且BE=D1F=λmanfen5.com 满分网.设EF与AB所成的角为α,与BC所成的角为β,则α+β的最小值( )
A.不存在
B.等于60
C.等于90
D.等于120
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8. 难度:中等
已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点,且EF∥BC,实数x,y满足manfen5.com 满分网.设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网.则λ2•λ3取最大值时,2x+y的值为( )
A.manfen5.com 满分网
B.manfen5.com 满分网
C.1
D.2
二、解答题
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9. 难度:中等
已知复数z满足iz=1-i,则z=   
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10. 难度:中等
曲线C:manfen5.com 满分网(θ为参数)的普通方程为   
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11. 难度:中等
曲线y=3-3x2与x轴所围成的图形面积为   
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12. 难度:中等
已知数列{an}满足a1=2,且an+1an+an+1-2an=0,n∈N*,则a2=    ;并归纳出数列{an}的通项公式an=   
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13. 难度:中等
如图,PA与圆O相切点A,PCB为圆O的割线,并且不过圆心O,已知∠BPA=30°,manfen5.com 满分网,PC=1,则PB=    ;圆O的半径等于   
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14. 难度:中等
已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1,且a∈(0,3),则对于任意的b∈R,函数F(x)=f(x)-x总有两个不同的零点的概率是   
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15. 难度:中等
已知函数manfen5.com 满分网(x∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,求cos2x的值.
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16. 难度:中等
为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为manfen5.com 满分网,第二轮检测不合格的概率为manfen5.com 满分网,两轮检测是否合格相互没有影响.
(Ⅰ)求该产品不能销售的概率;
(Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利40元;如果产品不能销售,则每件产品亏损80元(即获利-80元).已知一箱中有产品4件,记一箱产品获利X元,求X的分布列,并求出均值E(X).
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17. 难度:中等
在长方形AA1B1B中,AB=2AA1=4,C,C1分别是AB,A1B1的中点(如图1).将此长方形沿CC1对折,使二面角A1-CC1-B为直二面角,D,E分别是A1B1,CC1的中点(如图2).manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求证:C1D∥平面A1BE;
(Ⅱ)求证:平面A1BE⊥平面AA1B1B;
(Ⅲ)求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值.
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18. 难度:中等
设函数f(x)=lnx+(x-a)2,a∈R.
(Ⅰ)若a=0,求函数f(x)在[1,e]上的最小值;
(Ⅱ)若函数f(x)在manfen5.com 满分网上存在单调递增区间,试求实数a的取值范围;
(Ⅲ)求函数f(x)的极值点.
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19. 难度:中等
已知椭圆manfen5.com 满分网经过点A(2,1),离心率为manfen5.com 满分网.过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求manfen5.com 满分网的取值范围;
(Ⅲ)设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN,求证:kAM+kAN为定值.
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20. 难度:中等
对于正整数a,b,存在唯一一对整数q和r,使得a=bq+r,0≤r<b.特别地,当r=0时,称b能整除a,记作b|a,已知A={1,2,3,…,23}.
(Ⅰ)存在q∈A,使得2011=91q+r(0≤r<91),试求q,r的值;
(Ⅱ)求证:不存在这样的函数f:A→{1,2,3},使得对任意的整数x1,x2∈A,若|x1-x2|∈{1,2,3},则f(x1)≠f(x2);
(Ⅲ)若B⊆A,card(B)=12(card(B)指集合B 中的元素的个数),且存在a,b∈B,b<a,b|a,则称B为“和谐集”.求最大的m∈A,使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”,并说明理由.
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