2010-2011学年四川省成都市高三摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某学校共有教师200名，其中老年教师25名，中年教师75名，青年教师100名，若采用分层是抽样的方法从这200名教师中抽取40名教师进行座谈，则在青年教师中英抽取的人数为（ ）
A．15人
B．20人
C．25人
D．30人

2. 难度：中等

不等式＜0的解集是（ ）
A．{x|x＞}
B．{x|x＜}
C．{x|＜x＜1}
D．{x|x＞1或x＜}

3. 难度：中等

已知直线x+y+m=0与圆x²+y²=4相切，则实数m的值为（ ）
A．4
B．±4
C．2
D．±2

4. 难度：中等

函数y=ln|x|+1的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若sinα+cosα=，则sin2α=（ ）
A．
B．-
C．
D．-

6. 难度：中等

已知命题p：若x=y，则，那么下列叙述正确的是（ ）
A．命题p正确，其逆命题也正确
B．命题p正确，其逆命题不正确
C．命题p不正确，其逆命题正确
D．命题p不正确，其逆命题也不正确

7. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，n∈N^*，若2（S_n+1）=3a_n，则=（ ）
A．9
B．3
C．
D．

8. 难度：中等

安排6名演员的演出顺序时，要求演员甲不第一个出场，也不最后一个出场，则不同的安排方法种数是（ ）
A．120
B．240
C．480
D．720

9. 难度：中等

△ABC中内角A、B、C满足2cosAcosC+cosB=0，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形

10. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，点P、Q在棱CC₁上，PQ=1，则三棱锥P-QBD的体积是（ ）

A．
B．
C．8
D．与P点位置有关

11. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x-2），当x＞-2时，f（x）=e^x+1-2（e为自然对数的底数），若存在k∈Z，使方程f（x）=0的实数根x∈（k-1，k），则k的取值集合是（ ）
A．{0}
B．{-3}
C．{-4，0}
D．{-3，0}

12. 难度：中等

已知F₁、F₂分别为椭圆（a＞b＞0）的左右焦点，经过椭圆上第二象限内任意一点P的切线为l，过原点O作OM∥l交F₂P于点M，则|MP|与a、b的关系是（ ）
A．|MP|=a
B．|MP|＞a
C．|MP|=b
D．|MP|＜b

二、解答题

13. 难度：中等

（2+x）³的展开式的第三项的系数是     ．

14. 难度：中等

在半径为2，球心为O的球面上有两点A、B，若∠AOB=，则A、B两点间的球面距离为    ．

15. 难度：中等

已知实数x、y满足，则2x+y的最大值为     ．

16. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+2x+Ey+F=0（E、F∈R），有以下命题：
①E=-4，F=4是曲线C表示圆的充分非必要条件；
②若曲线C与x轴交于两个不同点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），则0≤F≤1；
③若曲线C与x轴交于两个不同点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁、x₂∈[-2，1），O为坐标原点，则||的最大值为2；
④若E=2F，则曲线C表示圆，且该圆面积的最大值为．
其中所有正确命题的序号是    ．

17. 难度：中等

某公司购买了一博览会门票10张，其中甲类票4张，乙类票6张，现从这10张票中任取3张奖励一名员工．
（1）求该员工得到甲类票2张，乙类票1张的概率；
（2）求该员工至少得到甲类票1张的概率，

18. 难度：中等

已知向量=（sin2x，cos2x），=（cos，sin），函数f（x）=+2a（其中a为实常数）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，]时，函数f（x）的最小值为-2，求a的值．

19. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，PO⊥平面ABCD，AO=BO=DO=1，CO=PO=2，E是线段PA上的点，AE：AP=1：3．
（1）求证：OE∥平面PBC；
（2）求二面角D-PB-C的大小．

20. 难度：中等

已知等差数列{a_n²}中，首项a₁²=1，公差d=1，a_n＞0，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，数列{b_n}的前n项和为T_n；
①求T₁₂₀；
②求证：当n＞3时，＞T_n+．

21. 难度：中等

设直线l（斜率存在）交抛物线y²=2px（p＞0，且p是常数）于两个不同点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O为坐标原点，且满足=x₁x₂+2（y₁+y₂）．
（1）若y₁+y₂=-1，求直线l的斜率与p之间的关系；
（2）求证：直线l过定点；
（3）设（1）中的定点为P，若点M在射线PA上，满足，求点M的轨迹方程．

22. 难度：中等

对函数Φ（x），定义f_k（x）=Φ（x-mk）+nk（其中x∈（mk，m+mk]，k∈Z，m＞0，n＞0，且m、n为常数）为Φ（x）的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，已知阶宽为2，阶高为3．
（1）当Φ（x）=2^x时
①求f（x）和f_k（x）的解析式；
②求证：Φ（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线；
（2）若Φ（x）=x²，则是否存在正整数k，使得不等式f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1有解？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．