2011年广东省中山市高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，1，2}，N={x|x=a²，a∈M}，则集合M∩N=（ ）
A．{0}
B．{0，1}
C．{1，2}
D．{0，2}

2. 难度：中等

已知复数z=1-2i，则=（ ）
A．1+i
B．1-i
C．-1+i
D．-1-i

3. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁+a₃+a₅=2π，则cosa₃=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

抛物线y²=8x的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，是一程序框图，则输出结果为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

定义一种运算：g⊙h=，已知函数f（x）=2^x⊙1，那么函数y=f（x-1）的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在四边形ABCD中，=，且•=0，则四边形ABCD（ ）
A．矩形
B．菱形
C．直角梯形
D．等腰梯形

8. 难度：中等

给出四个命题：
①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；
③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

设命题甲：ax²+2ax+1＞0的解集是实数集R；命题乙：0＜a＜1，则命题甲是命题乙成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

10. 难度：中等

定义在R上的函数，若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有3个不同实数解x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列结论错误的是（ ）
A．x₁²+x₂²+x₃²=14
B．a+b=2
C．x₁+x₃＞2x₂
D．x₁+x₃=4

二、解答题

11. 难度：中等

已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为    ．

12. 难度：中等

已知x、y之间的一组数据如下：

x		1	2	3
y	8	2	6	4

则线性回归方程所表示的直线必经过点    ．

13. 难度：中等

已知，且与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点为圆心，2为半径的圆的直角坐标方程是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，过点D做圆的切线与圆切于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD=3，AD=4，AB=2，则BC=    ．

16. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（x）=2，求sin2x的值．

17. 难度：中等

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

18. 难度：中等

如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）求四面体BDEF的体积．

19. 难度：中等

为了加快县域经济的发展，某县选择两乡镇作为龙头带动周边乡镇的发展，决定在这两个镇的周边修建环形高速公路，假设一个单位距离为10km，两镇的中心A、B相距8个单位距离，环形高速公路所在的曲线为E，且E上的点到A、B的距离之和为10个单位距离，在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM+AN=12个单位距离．
（1） 建立如图的直角坐标系，求曲线E的方程及M、N之间的距离有多少个单位距离；
（2）A、B之间有一条笔直公路Z与AB所在直线成45°，且与曲线E交于P，Q两点，该县招商部门引进外资在四边形PAQB区域开发旅游业，试问最大的开发区域是多少？（平方单位距离）

20. 难度：中等

设数列{a_n}是以a为首项，t为公比的等比数列，令b_n=1+a₁+a₂+…+a_n，c_n=2+b₁+b₂+…+b_n，n∈N
（1）试用a，t表示b_n和c_n
（2）若a＞0，t＞0且t≠1，试比较c_n与c_n+1（n∈N）的大小
（3）是否存在实数对（a，t），其中t≠1，使得{c_n}成等比数列，若存在，求出实数对（a，t）和{c_n}；若不存在说明理由．

21. 难度：中等

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（II）若，求b的最大值；
（III）设函数g（x）=f'（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：．