2010年上海市普陀区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

函数y=cos3x的最小正周期T=    ．

2. 难度：中等

=    ．

3. 难度：中等

抛物线y²+8x=0的焦点坐标为    ．

4. 难度：中等

方程log₃（x-1）+log₃（x+1）=1+log₃（x+9）的解为    ．

5. 难度：中等

已知，，则α=    ．（用反三角函数表示）

6. 难度：中等

无穷等比数列{a_n}的首项为3，公比，则{a_n}的各项和S=    ．

7. 难度：中等

已知f（x）=2^x+x，则f^-1（6）=    ．

8. 难度：中等

函数y=2cos²x+sin2x，x∈R的最大值是    ．

9. 难度：中等

如图，OABC是边长为1的正方形，是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴OC旋转一周得到的旋转体的体积为    ．

10. 难度：中等

设F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点．若点P在椭圆上，且，则向量与向量的夹角的大小为    ．

11. 难度：中等

在数列a_n中，a₁=2，，则a_n=    ．

12. 难度：中等

如图所给出的是用来求【解析】
的程序框图．则在框图的空格（1）处应填入的语句为    ；空格（2）处应填入的语句为    ．

13. 难度：中等

对任意的x₁＜0＜x₂，若函数f（x）=a|x-x₁|+b|x-x₂|的大致图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），试写出a、b应满足的条件    ．

14. 难度：中等

设关于x的方程的解集为A，若A∩R^-=∅，则实数a的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知平面向量=（3，1），=（x，-3），且⊥，则x=（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3

16. 难度：中等

集合A={-1，0，1}，B={y|y=3^x，x∈A}，则A∩B=（ ）
A．{0}
B．{1}
C．{0，1}
D．{-1，0，1}

17. 难度：中等

若直线l₁：x+ay=2a+2与直线l₂：ax+y=a+1不重合，则l₁∥l₂的充要条件是（ ）
A．a=-1
B．
C．a=1
D．a=1或a=-1

18. 难度：中等

对于方程2^x-sinx-1=0，下列说法错误的是（ ）
A．该方程没有大于0的实数解
B．该方程有无数个实数解
C．该方程在（0，+∞）内有且只有一个实数解
D．若x是该方程的实数解，则x＜1

三、解答题

19. 难度：中等

设函数f（x）=lg（x²-x-2）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B．已知α：x∈A∩B，β：x满足2x+p＜0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．

20. 难度：中等

如图，在 Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB的中点．现将 Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥体，点C为圆锥体底面圆周上的一点，且∠BOC=90°．
（1）求异面直线AO与CD所成角的大小；
（2）若某动点在圆锥体侧面上运动，试求该动点从点C出发运动到点D所经过的最短距离．

21. 难度：中等

某隧道长6000米，最高限速为v（米/秒），一个匀速行进的车队有10辆车，每辆车的车身长12米，相邻两车之间的距离与车速v（米/秒）的平方成正比，比例系数为k（k＞0），自第一辆车车头进入隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间为t（秒）．
（1）求函数t=f（v）的解析式，并写出定义域；
（2）求车队通过隧道时间t的最小值，并求出此时车速v的大小．

22. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=0，，n∈N^*．
（1）求证：是等差数列；并求数列{a_n}的通项公式；
（2）假设对于任意的正整数m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，则称该数列为“ω域收敛数列”．试判断：数列，n∈N^*是否为一个“域收敛数列”，请说明你的理由．

23. 难度：中等

如图，已知圆C：x²+y²=r²与x轴负半轴的交点为A．由点A出发的射线l的斜率为k，且k为有理数．射线l与圆C相交于另一点B．
（1）当r=1时，试用k表示点B的坐标；
（2）当r=1时，试证明：点B一定是单位圆C上的有理点；（说明：坐标平面上，横、纵坐标都为有理数的点为有理点．我们知道，一个有理数可以表示为，其中p、q均为整数且p、q互质）
（3）定义：实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”．
当0＜k＜1时，是否能构造“整勾股双曲线”，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成？若能，请尝试探索其构造方法；若不能，试简述你的理由．