2011年广东省深圳市高考数学最后冲刺压轴试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²-4x+3＜0}，N={x|2x+1＜5}，则M∪N=（ ）
A．{x|x＞3}
B．{x|x＞2}
C．{x|x＜3}
D．{x|x＜2}

2. 难度：中等

若=a+bi（a，b∈R），i是虚数单位，则乘积ab的值是（ ）
A．-15
B．3
C．-3
D．5

3. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α⊥γ，β⊥γ则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若α∥β，β∥γ，m⊥α则m⊥γ．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB=（ ）

A．10
B．8
C．
D．

6. 难度：中等

把正整数排列成三角形数阵（如图甲），如果擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到新的三角形数阵（如图乙），再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a_n}，则a₂₀₁₁=（ ）

A．3955
B．3957
C．3959
D．3961

7. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域为M，x²+y²≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设F₁、F₂分别双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．3x±4y=0
B．3x±5y=0
C．4x±3y=0
D．5x±4y=0

二、解答题

9. 难度：中等

已知向量，，设与的夹角为θ，则θ=    ．

10. 难度：中等

已知实数a为的展开式中x²的系数，则=    ．

11. 难度：中等

定义某种运算⊗，a⊗b的运算原理如右图所示．设f（x）=（0⊗x）x-（2⊗x）．则f（2）=    ；f（x）在区间[-2，2]上的最小值为    ．

12. 难度：中等

已知函数f'（x）、g'（x）分别是二次函数f（x）和三次函数g（x）的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示：
①若f（1）=1，则f（-1）=    ；
②设函数h（x）=f（x）-g（x），则h（-1），h（0），h（1）的大小关系为    ．（用“＜”连接）

13. 难度：中等

在直角坐标平面内，已知点列P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），…如果k为正偶数，则向量的纵坐标（用k表示）为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）若曲线为参数）与曲线：（θ为参数）相交于A，B两点，则|AB|=    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC=2，∠BCD=30°，则圆O的面积为    ．

16. 难度：中等

已知函数的最小正周期为3π．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且；求角C的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若的值．

17. 难度：中等

已知海岸边A，B两海事监测站相距60nmile，为了测量海平面上两艘油轮C，D间距离，在A，B两处分别测得∠CBD=75°，∠ABC=30°，∠DAB=45°，∠CAD=60°（A，B，C，D在同一个水平面内）．请计算出C，D两艘轮船间距离．

18. 难度：中等

为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．
（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图）再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数；

分组（单位：岁）	频数	频率
[20，25]	5	0.05
[25，30]	①	0.20
[30，35]	35	②
[35，40]	30	0.30
[40，45]	10	0.10
合计	100	1.00

（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在（495，510]的产品为合格品，否则为不合格品．图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表．

（1）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；
（2）从乙流水线样本的不合格品中任意取2件，求其中超过合格品重量的件数Y的分布列；
（3）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．

	甲流水线	乙流水线	合计
合格品	a=	b=
不合格品	c=	d=
合 计			n=

P（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：下面的临界值表供参考：
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）

20. 难度：中等

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，使，得到三棱锥B-ACD．
（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值；
（Ⅲ）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得，并证明你的结论．

21. 难度：中等

如图，已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为正方形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，其侧棱长都为．
（1）证明：DF₁⊥平面PA₁F₁；
（2）求异面直线DF₁与B₁C₁所成角的余弦值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）的图象经过点（1，λ），且对任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．数列{a_n}满足
（I）求f（n）（n∈N^*）的表达式；
（II）设λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（III）若对任意n∈N^*，总有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求实数λ的取值范围．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1．
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由；   
（3）求证：．

24. 难度：中等

如图，椭圆的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F₁、F₂，P为以F₁、F₂为直径的圆上异于F₁、F₂的动点，直线PF₁、PF₂分别交椭圆C于M、N和D、E．
（1）证明：为定值K；
（2）当K=-2时，问是否存在点P，使得四边形DMEN的面积最小，若存在，求出最小值和P坐标，若不存在，请说明理由．

25. 难度：中等

定理：若函数f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且在（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立．应用上述定理证明：
（1）；     
（2）设，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀
（3）设f（x）=xⁿ（n∈N^*）．若对任意的实数x，y，恒成立，求n所有可能的值．

26. 难度：中等

设函数f（x）=ax•lnx（a＞0）．
（Ⅰ）当a=2时，判断函数g（x）=f（x）-4（x-1）的零点的个数，并且说明理由；
（Ⅱ）若对所有x≥1，都有f（x）≤x²-1，求正数a的取值范围．