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2011年北京市西城区高考数学二模试卷(文科)(解析版)
一、选择题
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1. 难度:中等
已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a等于( )
A.1
B.0
C.-2
D.-3
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2. 难度:中等
已知i是虚数单位,则复数z=1+2i+3i2所对应的点落在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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3. 难度:中等
已知a<b,则下列不等式正确的是( )
A.manfen5.com 满分网
B.a2>b2
C.2-a>2-b
D.2a>2b
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4. 难度:中等
在△ABC中,“manfen5.com 满分网”是“△ABC为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
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5. 难度:中等
一个几何体的三视图如图所示,则其体积等于( )
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A.2
B.1
C.manfen5.com 满分网
D.manfen5.com 满分网
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6. 难度:中等
函数y=sinπx(x∈R)的部分图象如图所示,设O为坐标原点,P是图象的最高点,B是图象与x轴的交点,则tan∠OPB=( )
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A.10
B.8
C.manfen5.com 满分网
D.manfen5.com 满分网
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7. 难度:中等
若a>2,则函数f(x)=x3-3ax+3在区间(0,2)上零点的个数为( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
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8. 难度:中等
已知点A(-1,0),B(1,0)及抛物线y2=2x,若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|,则m的最大值为( )
A.3
B.2
C.manfen5.com 满分网
D.manfen5.com 满分网
二、解答题
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9. 难度:中等
已知{an}为等差数列,a3+a4=1,则其前6项之和为   
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10. 难度:中等
已知向量manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,设manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网的夹角为θ,则θ=   
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11. 难度:中等
在△ABC中,若B=2A,manfen5.com 满分网,则A=   
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12. 难度:中等
平面上满足约束条件manfen5.com 满分网的点(x,y)形成的区域为D,则区域D的面积为    ;设区域D关于直线y=2x-1对称的区域为E,则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为   
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13. 难度:中等
定义某种运算⊗,a⊗b的运算原理如右图所示.则0⊗(-1)=    ;设f(x)=(0⊗x)x-(2⊗x).则f(1)=   
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14. 难度:中等
数列{an}满足a1=1,manfen5.com 满分网,其中λ∈R,n=1,2,….给出下列命题:
①∃λ∈R,对于任意i∈N*,ai>0;
②∃λ∈R,对于任意i≥2(i∈N*),aiai+1<0;
③∃λ∈R,m∈N*,当i>m(i∈N*)时总有ai<0.
其中正确的命题是    .(写出所有正确命题的序号)
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15. 难度:中等
已知函数manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)若f(x)=2,求sin2x的值.
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16. 难度:中等
manfen5.com 满分网如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC∩BD=O.将菱形ABCD沿对角线AC折起,得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点,manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求证:OM∥平面ABD;
(Ⅱ)求证:平面ABC⊥平面MDO;
(Ⅲ)求三棱锥M-ABD的体积.
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17. 难度:中等
由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动,已发展成为最有影响力的环保活动之一,今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此,某新闻媒体进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示:
支持保留不支持
20岁以下800450200
20岁以上(含20岁)100150300
(Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n个人,已知从“支持”态度的人中抽取了45人,求n的值;
(Ⅱ)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体,从这5人中任意选取2人,求至少有1人20岁以下的概率;
(Ⅲ)在接受调查的人中,有8人给这项活动打出的分数如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体,从中任取1个数,求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.
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18. 难度:中等
设函数f(x)=ex,其中e为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数g(x)=f(x)-ex的单调区间;
(Ⅱ)记曲线y=f(x)在点P(x,f(x))(其中x<0)处的切线为l,l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S,求S的最大值.
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19. 难度:中等
已知椭圆manfen5.com 满分网(a>b>0)的焦距为manfen5.com 满分网,离心率为manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设过椭圆顶点B(0,b),斜率为k的直线交椭圆于另一点D,交x轴于点E,且|BD|,|BE|,|DE|成等比数列,求k2的值.
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20. 难度:中等
若函数f(x)对任意的x∈R,均有f(x-1)+f(x+1)≥2f(x),则称函数f(x)具有性质P.
(Ⅰ)判断下面两个函数是否具有性质P,并说明理由.
①y=ax(a>1);    ②y=x3
(Ⅱ)若函数f(x)具有性质P,且f(0)=f(n)=0(n>2,n∈N*),
求证:对任意i∈{1,2,3,…,n-1}有f(i)≤0;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否对任意x∈[0,n]均有f(x)≤0.若成立给出证明,若不成立给出反例.
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