2011年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={0，1}，B={-1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于（ ）
A．1
B．0
C．-2
D．-3

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数z=1+2i+3i²所对应的点落在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知a＜b，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．a²＞b²
C．2-a＞2-b
D．2^a＞2^b

4. 难度：中等

在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于（ ）

A．2
B．1
C．
D．

6. 难度：中等

函数y=sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB=（ ）

A．10
B．8
C．
D．

7. 难度：中等

若a＞2，则函数f（x）=x³-3ax+3在区间（0，2）上零点的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

已知点A（-1，0），B（1，0）及抛物线y²=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

已知{a_n}为等差数列，a₃+a₄=1，则其前6项之和为    ．

10. 难度：中等

已知向量，，设与的夹角为θ，则θ=    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，若B=2A，，则A=    ．

12. 难度：中等

平面上满足约束条件的点（x，y）形成的区域为D，则区域D的面积为    ；设区域D关于直线y=2x-1对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为    ．

13. 难度：中等

定义某种运算⊗，a⊗b的运算原理如右图所示．则0⊗（-1）=    ；设f（x）=（0⊗x）x-（2⊗x）．则f（1）=    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，，其中λ∈R，n=1，2，…．给出下列命题：
①∃λ∈R，对于任意i∈N^*，a_i＞0；
②∃λ∈R，对于任意i≥2（i∈N^*），a_ia_i+1＜0；
③∃λ∈R，m∈N^*，当i＞m（i∈N^*）时总有a_i＜0．
其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（x）=2，求sin2x的值．

16. 难度：中等

如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，．
（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅲ）求三棱锥M-ABD的体积．

17. 难度：中等

由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高．然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问．对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

	支持	保留	不支持
20岁以下	800	450	200
20岁以上（含20岁）	100	150	300

（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；
（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；
（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．

18. 难度：中等

设函数f（x）=e^x，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数g（x）=f（x）-ex的单调区间；
（Ⅱ）记曲线y=f（x）在点P（x，f（x））（其中x＜0）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值．

19. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k²的值．

20. 难度：中等

若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x-1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．
（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．
①y=a^x（a＞1）；    ②y=x³．
（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N^*），
求证：对任意i∈{1，2，3，…，n-1}有f（i）≤0；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例．