2010年四川省眉山市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合{x∈z||x|＜3|}的真子集的个数是（ ）
A．16
B．15
C．32
D．31

2. 难度：中等

指数函数y=f（x）的反函数的图象过点（2，-1），则此指数函数为（ ）
A．
B．y=2^x
C．y=3^x
D．y=10^x

3. 难度：中等

“x≥3”是“x＞2”的（ ）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若=3，则=（ ）
A．2
B．
C．
D．3

5. 难度：中等

已知角α的终边过点P（x，-3），且，则sinα的值（ ）
A．
B．
C．或-1
D．或

6. 难度：中等

若函数y=f（x）的值域是，则函数的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

从5名学生中选出3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每人1科，若学生甲不能参加物理竞赛，则不同的参赛方案共有（ ）种．（ ）
A．24
B．28
C．48
D．72

8. 难度：中等

若半径为1的球面上两点A、B间的球面距离为，则球心到过A、B两点的平面的距离最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线，则a的值为（ ）
A．1
B．
C．1或
D．4

10. 难度：中等

已知函数y=x-1，令x=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，可得函数图象上的九个点，在这九个点中随机取出两个点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则P₁，P₂两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知点O为△ABC的外心，且则=（ ）
A．2
B．4
C．
D．6

12. 难度：中等

设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则们组题意的a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．
C．（1，2）
D．

二、解答题

13. 难度：中等

在的展开式中的系数等于    ．

14. 难度：中等

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（2）=3，则f（2010）=    ．

15. 难度：中等

若数列{a_n}满足（n∈N^*，d为常数），则称数列{a_n}为调和数列．记数列为调和数列，且x₁+x₂+…+x₂₀=200，则x₅+x₁₆=    ．

16. 难度：中等

对于定义在R上的函数f（x），有下述命题：
①若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
②若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，则f（x）为偶函数；
③若对x∈R，有f（x）=f（2-x），则函数f（x）关于直线x=1对称；
④若对x∈R，有，则f（x）的最小值正周期为4．
其中正确命题的序号是    ．（填写出所有的命题的序号）

17. 难度：中等

已知集合A={x|x²-2ax+a²-1＜0}，，命题P：2∈A，命题q：1∈B，若复合命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

同学小王参加甲、乙、丙三所学校的自主命题招生考试，其被录取的概率分别为（各学校是否录取他相互独立，允许小王被多个学校同时录取）
（Ⅰ）求小王没有被录取的概率；
（Ⅱ）求小王至少被两个学校录取的概率．

19. 难度：中等

已知A、B、C为三个锐角，且A+B+C=π，若向量与向量是共线向量．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求函数的最大值．

20. 难度：中等

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=60°，点B为DE中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）设二面角A₁-BC-A的大小为α，直线AC与平面A₁BC所成的角为β，求sin（α+β）的值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+x²-x+1，（a＞0）．
（I）f（x）在（2，+∞）上是否存在单调递增区间，证明你的结论．
（II）若f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x∈A，计算出x=f（x）；②若x₁∉A，则数列发生器结束工作；若x₁∈A，则输出x₁，并将x₁反馈回输入端，再计算出x₂=f（x₁），依次规律继续下去．若集合A={x|0＜x＜1}，
（Ⅰ）求证：x∈A时，f（x）∈A．
（Ⅱ）求证：对任意x∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列去{x_n}
（Ⅲ）若，记（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．