2008-2009学年浙江省宁波市八校高三（下）联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，4}，集合B={3，4}，则集合{1，3}等于（ ）
A．A∩（C_uB）
B．B∩（C_uA）
C．C_u（A∩B）
D．（A∪B）∩C_u（A∩B）

2. 难度：中等

已知复数z₁=2+i，z₂=1-i，z₃=1+i，则z=在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

二项式（1-x）⁴ⁿ⁺¹的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第2n+1项
B．第2n+2项
C．第2n项
D．第2n+1项和第2n+2项

4. 难度：中等

若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（ ）
A．k=9
B．k≤8
C．k＜8
D．k＞8

5. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）+k的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．π

7. 难度：中等

已知双曲线的离心率的范围是数集M，设p：“k∈M”； q：“函数f（x）=的值域为R”．则P是Q成立的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

下列函数中，对任意a₁∈（0，1），由关系式a_n+1=f（a_n）得到的数列{a_n}满足a_n+1＞a_n，n∈N⁺．则该函数是（ ）
A．f（x）=x²
B．f（x）=
C．f（x）=sin
D．f（x）=cos

9. 难度：中等

已知：，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定经过△ABC的（ ）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心

10. 难度：中等

若圆O₁方程为（x+1）²+（y+1）²=4，圆O₂方程为（x-3）²+（y-2）²=1，则方程（x+1）²+（y+1）²-4=（x-3）²+（y-2）²-1表示的轨迹是（ ）
A．线段O₁O₂的中垂线
B．过两圆内公切线交点且垂直线段O₁O₂的直线
C．两圆公共弦所在的直线
D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等

二、解答题

11. 难度：中等

已知f（x）图象是一条连续的曲线，且在区间（a，b）内有唯一零点x，用“二分法”求得一系列含零点x的区间，这些区间满足（a，b）⊃（a₁，b₁）⊃（a₂，b₂）⊃…⊃（a_k，b_k）．若f（a）＜0，f（b）＞0，则f（a_k）的符号为    ．（填：“正“，“负“，“正、负、零均可能“）

12. 难度：中等

sin155°cos35°-cos25°cos235°=    ．

13. 难度：中等

已知f（x）=，g（4x）=3f（x），两动点P，Q分别在函数f（x），g（x）的图象上，则|PQ|_Max+|PQ|_min=    ．

14. 难度：中等

已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=    ．

15. 难度：中等

在正整数集中，将仅含数码0，1，2，3，4的数从小到大排成数列{b_n}，则b₁=1，b₂=2，b₃=3，b₄=4，b₅=10，b₆=11，b₇=12，b₈=13，b₉=14，b₁₀=20，…，b₅₀₅=    ．

16. 难度：中等

设f（x）=，g（x）=asin+5-2a（a＞0），若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，则a的取值范围是    ．

17. 难度：中等

2009年的复旦大学自主招生测验卷为200道单选题，总分1000分．每题含有4个选择支，选对得5分，选错扣2分，不选得0分．某考生遇到5道完全不会解的题，经过思考，他放弃了这5题，没有猜答案．请你用数学知识来说明他放弃这5题的理由：    ．

18. 难度：中等

某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：

（Ⅰ）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为______，______，______，______；
（Ⅱ）在所给的坐标系中画出区间上的频率分布直方图；
（Ⅲ）根据题中信息估计总体：（ⅰ）120分及以上的学生数；（ⅱ）平均分；（ⅲ）成绩落在[126，150]中的概率．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

20. 难度：中等

已知f（x）是R上的单调函数，∀x₁，x₂∈R，∃x∈R，总有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）若f（x）=1，且∀_n∈N⁺，有a_n=，b_n=f（）+1，记S_n=，T_n=，
，比较S_n与T_n的大小并给出证明；
（Ⅲ）若不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞对∀n≥2都成立，求x的取值范围．

21. 难度：中等

已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x²+5y²=80上，且点A在y轴的正半轴上．
（Ⅰ）若△ABC的重心是椭圆的右焦点F₂，试求直线BC的方程；
（Ⅱ）若∠A=90°，试证直线BC恒过定点．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²+bx+c
（1）若函数h（x）=f（x）+g（x）是单调递增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b=0时，两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点P，设曲线f（x），g（x）在P处的切线分别为l₁，l₂，若切线l₁，l₂与x轴围成一个等腰三角形，求P点坐标和c的值；
（3）当b=-2e²时，讨论关于x的方程=g（x²）的根的个数．