2007-2008学年江苏省南京市金陵中学、海安中学高三联考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知复数z满足（2-i）z=5，则z=    ．

2. 难度：中等

统计某校800名学生的数学期末成绩，得到频率分布直方图如图所示，若考试采用100分制，并规定不低于60分为及格，则及格率为    ．

3. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是    ．

4. 难度：中等

如图所示的流程图输出的结果是    ．

5. 难度：中等

函数的值域是    ．

6. 难度：中等

设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为    ．

7. 难度：中等

一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“One”，“World”，“One”，“Dream”的四张卡片随机排成一行，若卡片从左到右的顺序排成“One  World  One  Dream”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为    ．

8. 难度：中等

已知函数y=f （x）的定义域为R，f （27）=3，且对任意的实数x₁，x₂，必有f =f （x₁）•f （x₂）  成立，写出满足条件的一个函数为    ．

9. 难度：中等

定义在R上的奇函数f （x），已知x＞0时，f （x）=log₂x，则方程f （x）=1的解集是    ．

10. 难度：中等

命题“ax²-2ax+3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是     ．

11. 难度：中等

等比数列{a_n}的公比为q（q≠0），其前项和为S_n，若S₃，S₉，S₆成等差数列，则q³=    ．

12. 难度：中等

已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°，•=-2，则||的最小值是    ．

13. 难度：中等

双曲线-y²=1（n＞1）的两个焦点为F₁，F₂，P在双曲线上，且满足|PF₁|+|PF₂|=2，则△PF₁F₂的面积为    ．

14. 难度：中等

函数f （x）是定义在[0，1]上的函数，满足f （x）=2f （），且f （1）=1，在每一个区间（，]（k=1，2，3，…）上，y=f （x）的图象都是斜率为同一常数m的直线的一部分，记直线x=，x=，x轴及函数y=f （x）的图象围成的梯形面积为a_n（n=1，2，3，…），则数列{a_n}的通项公式为    ．（用最简形式表示）

15. 难度：中等

如图：A，B是圆O上的两点，点C是圆O与x轴正半轴的交点，已知A（-3，4），且点B在劣弧CA上，△AOB为正三角形．
（1）求cos∠COA；
（2）求|BC|的值．

16. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中点，F为ED的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）求证：CF∥平面BAE．

17. 难度：中等

甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙生产影响的经济损失金额y=0.002t²（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？

18. 难度：中等

如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点F₁，F₂和短轴的一个端点A构成等边三角形，点（，）在椭圆C上，直线l为椭圆C的左准线．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上的动点，PQ⊥l，垂足为Q．是否存在点P，使得△F₁PQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知k为正常数，方程x²-kx+u=0有两个正数解x₁，x₂．
（1）求实数u的取值范围；
（2）求使不等式（-x₁） （-x₂）≥（-）²恒成立的k的取值范围．

20. 难度：中等

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，其中a_i∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k（P）和k（Q）；
（2）若集合A={2，4，8，…，2ⁿ}，证明：；
（3）求k（A）的最小值．

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，在△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，点O是外心，两条高 BE，CF交于H点，点M，N分别在线段BH，FH上，且满足BM=CN，求的值．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=，属于特征值1的一个特征向量为α₂=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
把参数方程（t是参数）化为普通方程，并说明它表示什么曲线．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且有a+b+c=1，a²+b²+c²=1．求证：1＜a+b＜．

25. 难度：中等

某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A、B、C、D与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得-1分，一名观众随意连线，他的得分记作ξ．
（1）求该观众得分ξ为非负的概率；
（2）求ξ的分布列及数学期望．

26. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．
（1）求直线BE与A₁C所成的角的余弦；
（2）在线段AA₁上取一点F，问AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？