2008年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

=    ．

2. 难度：中等

，则sin⁴α-cos⁴α=    ．

3. 难度：中等

函数y=2x+a的反函数是y=bx-1，则a+b=    ．

4. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=a₁（2ⁿ-1），n为正整数．若a₄=24，则a₁=    ．

5. 难度：中等

棱长为1的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，异面直线AB₁与BC所成角的大小为    ．

6. 难度：中等

不等式组表示的平面区域中点P（x，y）到直线x+3y=9距离的最小值是    ．

7. 难度：中等

若函数f（x）=，则f（log₂3）=    ．

8. 难度：中等

若x是1+2y与1-2y的等比中项，则xy的最大值为    ．

9. 难度：中等

已知两根的平方和为3的实系数方程x²+bx+c=0与平面直角坐标系上的点P（b-c，b）对应，则点P的轨迹方程为     ．

10. 难度：中等

如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有    种不同的走法．

11. 难度：中等

记，若a₁=4.47，a₂=4.51，a₃=4.61，a₄=4.65，a₅=4.76．则．另有正整数A_i（1≤i≤5）的和仍是23，若以A_i来估计a_i，则“误差和”的最小值为    ．

12. 难度：中等

问题：过点M（2，1）作一斜率为1的直线交抛物线y²=2px（p＞0）于不同的两点A，B，且点M为AB的中点，求p的值．请阅读某同学的问题解答过程：
【解析】
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，两式相减，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂）．又，y₁+y₂=2，因此p=1．
并给出当点M的坐标改为（2，m）（m＞0）时，你认为正确的结论：    ．

二、选择题

13. 难度：中等

复数a+bi与c+di（a，b，c，d∈R）的积是纯虚数，则（ ）
A．ac+bd≠0且ad+bc=0
B．ac+bd=0或ad+bc≠0
C．ac-bd=0且ad+bc≠0
D．ac-bd=0或ad+bc≠0

14. 难度：中等

函数y=log_ax和y=（1-a）x+a的图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

15. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₅为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ ）
A．a₂+a₁₃
B．a₂a₁₃
C．a₁+a₈+a₁₅
D．a₁a₈a₁₅

16. 难度：中等

函数f（x）=x|sinx+m|+n为奇函数的充要条件是（ ）
A．m²+n²=0
B．mn=0
C．m+n=0
D．m-n=0

三、解答题

17. 难度：中等

棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是棱的CC₁中点．
（1）求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求四面体ACPD₁的体积．

18. 难度：中等

三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量=（c-a，b-a），=（a+b，c），若．
（1）求角B的大小．
（2）求sinA+sinC的取值范围．

19. 难度：中等

一场特大暴风雪严重损坏了某铁路干线供电设备，抗灾指挥部决定在24小时内完成抢险工程．经测算，工程需要15辆车同时作业24小时才能完成，现有21辆车可供指挥部调配．
（1）若同时投入使用，需要多长时间能够完成工程？（精确到0.1小时）
（2）现只有一辆车可以立即投入施工，其余20辆车需要从各处紧急抽调，每隔40分钟有一辆车可以到达并投入施工，问：24小时内能否完成抢险工程？说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f （x ）=（a为常数）．
（1）解不等式f（x-2）＞0；
（2）当x∈[-1，2]时，f （x）的值域为[，2]，求a的值．

21. 难度：中等

已知等差数列{x_n}，S_n是{x_n}的前n项和，且x₃=5，S₅+x₅=34．
（1）求{x_n}的通项公式；
（2）设，T_n是{a_n}的前n项和，方程S_n+T_n=2008是否有解？说明理由；
（3）是否存在正数λ，对任意的正整数n，不等式λx_n-4S_n＜228恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知二次曲线C_k的方程：．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）对于点P（-1，0），是否存在曲线C_k交直线y=x+1于A、B两点，使得？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）已知C_k与直线y=x+1有公共点，求其中实轴最长的双曲线方程．