2011年陕西省西安市长安一中高三综合模拟数学试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|2x-x²＞0}，B={x|x＞1}，R为实数集，则（∁_RB）∩A=（ ）
A．[0，1]
B．（0，1]
C．（-∞，0]
D．（1，2）

2. 难度：中等

复数（i为虚数单位）的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

要得到函数y=sin2x-cos2x的图象，只要将函数y=sin2x+cos2x的图象沿x轴（ ）
A．向右平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位

4. 难度：中等

已知m是二项式（a为常数）展开式中有理项的个数，则展开式的中间项为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若函数f（x）=，若f（a）＞f（-a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，0）∪（0，1）
B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C．（-1，0）∪（1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（0，1）

6. 难度：中等

执行右图所给的程序框图，输出的S的值等于（ ）

A．17
B．25
C．26
D．37

7. 难度：中等

如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）
A．
B．2π
C．3π
D．4π

8. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=，把方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ）
A．a_n=（n∈N⁺）
B．a_n=n（n-1）（n∈N⁺）
C．a_n=n-1（n∈N⁺）
D．a_n=2ⁿ-2（n∈N⁺）

10. 难度：中等

定义两种运算：a⊕b=，a⊗b=，则f（x）=是（ ）函数．
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数

二、解答题

11. 难度：中等

已知向量，若则的最小值为    ．

12. 难度：中等

现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为    ．

13. 难度：中等

先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子朝上的点数分别为m，n，则满足log_2mn=1的概率是    ．

14. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为    ．

15. 难度：中等

选做题（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A．（选修4-4坐标系与参数方程）若M，N分别是曲线ρ=2cosθ和上的动点，则M，N两点间的距离的最小值是    ．
B．（选修4-5 不等式选讲）若不等式对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围为    ．
C．（选修4-1 几何证明选讲）（几何证明选做题）如图，圆O的割线PBA过圆心O，弦CD交AB于点E，且△COE～△PDE，PB=OA=2，则PE的长等于    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=n²（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

17. 难度：中等

已知平面向量，，，其中0＜φ＜π，且函数的图象过点．
（1）求φ的值；
（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C-A的余弦值．

19. 难度：中等

某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数	分组	低碳族的人数	占本组的频率
第一组	[25，30）	120	0.6
第二组	[30，35）	195	p
第三组	[35，40）	100	0.5
第四组	[40，45）	a	0.4
第五组	[45，50）	30	0.3
第六组	[50，55）	15	0.3

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
（Ⅱ）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．

20. 难度：中等

设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A（0，2），右焦点F与点的距离为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在经过点（0，-3）的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设函数f（x）═x²-alnx与g（x）=的图象分别交直线x=1于点A，B，且曲线y=f（x）在点A处的切线与曲线y=g（x）在点B处的切线平行．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；
（2）设函数h（x）=f（x-）g（x），求函数h（x）最小值；
（3）若不等式f（x）≥m•g（x）在x∈（0，4）上恒成立，求实数m的取值范围．