2005年浙江省杭州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设在复平面内对应点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

“|2x-1|＜3”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

有一条信息，若1人得知后用1小时将其传给2人，这2人又用1小时分别传给未知此信息的另外2人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，理论上最少需要的时间约为（ ）
A．10天
B．2天
C．1天
D．半天

4. 难度：中等

P={α|α=（-1，1）+m（1，2），m∈R}，Q={β|β=（1，-2）+n（2，3），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于（ ）
A．{（1，-2）}
B．{（-13，-23）}
C．{（-2，1）}
D．{（-23，-13）}

5. 难度：中等

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题：
①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；
其中正确的命题是（ ）
A．仅①
B．仅②
C．①②③
D．①③④

6. 难度：中等

若的展开式中的第五项是，设S_n=x^-1+x^-2+…+x^-n且，则S=（ ）
A．1
B．
C．2
D．

7. 难度：中等

在，则（ ）
A．a，b，c依次成等差数列
B．b，a，c依次成等差数列
C．a，c，b依次成等差数列
D．a，b，c既成等差数列，也成等比数列

8. 难度：中等

将写有1，2，3，4，5的5张卡片分别放入标有1，2，3，4，5的5个盒子内，每个盒子里放且只放1张卡片，那么2号卡片不在2号盒内且4号卡片不在4号盒内的放法数等于（ ）
A．42
B．72
C．78
D．120

9. 难度：中等

函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（b-3）x+b的图象关于原点中心对称，则f（x）（ ）
A．在[-4，4]上为增函数
B．在[-4，4]上为减函数
C．[4，+∞）上为增函数，在（-∞，-4]上为减函数
D．在（-∞，-4]上为增函数，在[4，+∞）上也为增函数

10. 难度：中等

如图所求，椭圆中心在坐标原点，离心率为，F为随圆左焦点，直线AB与FC交于D点，则∠BDC的正切值是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为（ ）
A．0.45
B．0.6
C．0.65
D．0.75

12. 难度：中等

把3¹¹表示成k项连续正整数的和，则项数k的最大值为（ ）
A．594
B．486
C．374
D．243

二、解答题

13. 难度：中等

在直角坐标系数xOy中，设，则原点O到直 线=p的距离等于    ．

14. 难度：中等

已知m，n，m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的准线方程为    ．

15. 难度：中等

已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=，若f（-1）=2，则f（2009）=    ．

16. 难度：中等

在下面4个平面图形中，是右面正四面体（侧棱和底面边长相等的正三棱锥）的展开图的序号有    ．（把你认为正确的序号都填上） 

17. 难度：中等

已知．

18. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=，点E，点F分别是PC，AP的中点．
（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC；
（2）求异面直线AE与BF所成的角；
（3）求二面角A-BE-F的平面角．

19. 难度：中等

△A₁OB₁，△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃，…，△A_nB_n-1B_n均为等腰直角三角形，已知它们的直角顶点A₁，A₂，A₃，…，A_n在曲线xy=1（x＞0）上，B₁，B₂，B₃，…，B_n在x轴上（如图），
（1）求斜边OB₁，B₁B₂，B₂B₃的长；
（2）求数列OB₁，B₁B₂，B₂B₃，…，B_n-1B_n的通项公式．

20. 难度：中等

右表是某班英语及数学成绩的分布表，已知该班有50名学生，成绩分1至5个档次．如：表中所示英语成绩为4分，数学成绩为2分的学生有5人．现设该班任意一位学生的英语成绩为m，数学成绩为n．

数  学
5	4	3	2	1
5	1	3	1		1
4	1		7	5	1
3	2	1		9	3
2	1	b	6		a
1			1	1	3

（1）求m=4，n=3的概率；
（2）求在m≥3的条件下，n=3的概率；
（3）求a+b的值，并求m的数学期望；
（4）若m=2与n=4是相互独立的，求a，b的值．

21. 难度：中等

设双曲线的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点．（如图）
（1）证明：无论P点在什么位置，总有；
（2）若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围．

22. 难度：中等

已知常数a＞0，n为正整数，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ（x＞0）是关于x的函数．
（1）判定函数f_n（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）对任意n≥a，证明f′_n+1（n+1）＜（n+1）f_n′（n）