2010年湖南省高考数学押题卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-2x＜0}，B={x|x＜1}，则A∩（C_RB）=（ ）
A．（0，1）
B．（0，1]
C．[1，2）
D．[1，2]

2. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₂+a₅+a₈=15，则S₉的值（ ）
A．54
B．45
C．36
D．27

3. 难度：中等

函数f（x）=2x+e^x的零点可能在区间（ ）
A．（-1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）

4. 难度：中等

已知cos（α-）=，则sin2α的值为（ ）
A．
B．-
C．-
D．

5. 难度：中等

阅读右面的程序框图，则输出的n的值为（ ）

A．98
B．99
C．100
D．101

6. 难度：中等

在△ABC中，向量，，D是BC的中点，则=（ ）
A．6
B．3
C．
D．

7. 难度：中等

给出如下四个命题：①回归直线方程必过点；②幂函数y=（m²-m-1）x^1-m在R上是减函数；③“a，b∈[0，1]”是“函数有两相异极值点的概率为”的充要条件；④命题“∀x∈[1，2]，x²-1≥0”的否定为“∃x∈[1，2]，x²-1＜0”．其中正确命题的个数是（ ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④

8. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，若•=0 且||||=2ac（c=），则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．

二、解答题

9. 难度：中等

抛物线的焦点和准线的距离是    ．

10. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数i（1+i）的共轭复数在复平面内对应的点位于第    象限．

11. 难度：中等

配制某种饮料，需要加入某种配料．经验表明，加入量超过130ml肯定不好，用130ml的锥形量杯加入量，该量杯的量程分为13格，每格代表10ml，若用分数法安排各试验点的测试，则第一次和第二次的试点是    ml和     ml．

12. 难度：中等

某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．s₁，s₂分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则s₁    s₂．（填“＞”、“＜”或“=”）

13. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．点P的极坐标是，过点P与直线垂直的直线的极坐标方程为    ．

14. 难度：中等

右图中空间组合体的正视图、侧视图和俯视图的外形是边长为3的正方形，则该几何体的表面积为    ．

15. 难度：中等

设n阶方阵
任取A_n中的一个元素，记为x₁；划去x₁所在行与列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n-1阶方阵A_n-1，任取A_n-1中一个元素，记为x₂，划去x₂所在行与列，…将最后剩下的一个元素记为x_n，记S_n=x₁+x₂+…+x_n，
若n=3时，则S₃=    ，若n=k时，则S_k=    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，n=（sinA，-1），且m⊥n．
（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，，求b的值．

17. 难度：中等

为了迎接2010上海世博会，某网站举行了一次“世博会知识竞赛”，共有800人参加，随机地编号为001，002，…800．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了50人的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计，这50人考试成绩全部介于60分到100分之间，将考试成绩按如下方式分成8组，第一组[60，65），第二组[65，70）…第八组[95，100]，得到的频率分布直方图如图．
（1）若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到，且第一段抽到的号码为002，则第三段抽到的号码是多少？
（2）若从考试成绩属于第6组和第8组的所有人中随机抽取2人，设他们的成绩为x，y，求满足|x-y|≤5的事件的概率．

18. 难度：中等

如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（Ⅰ）求三棱锥E-PAD的体积；
（Ⅱ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．

19. 难度：中等

某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日和生产产品件数x（x∈N^*）间的关系为P=，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元．（注：正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%）．
（Ⅰ）将日利润y（元）表示成日产量x（件）的函数；
（Ⅱ）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值．

20. 难度：中等

已知正项数列{a_n}中a₁=2，点在函数的导函数y=f'（x）图象上，数列{b_n}中，点（b_n，S_n）在直线上，其中S_n是数列{b_n}的前n项和（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足，且数列{c_n}的前n项和T_n，求证：．

21. 难度：中等

椭圆C₁的中心在原点，过点（0，），且右焦点F₂与圆C₂：（x-1）²+y²=的圆心重合．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若点P是椭圆上的动点，EF是圆C₂的任意一条直径，求的最大值．
（3）过点F₂的直线l交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线l，使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点F₁？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；