2006年北京市崇文区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知向量=（-5，3），=（2，x），且∥，则x的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

椭圆的准线方程是（ ）
A．
B．
C．y=±4
D．x=±4

3. 难度：中等

已知直线m、n及平面α、β，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知集合A={x|3-x=（x-3）²}，，p：x∈A，q：x∈B，则p是q的（ ）
A．充分条件，但不是必要条件
B．必要条件，但不是充要条件
C．充分必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件

5. 难度：中等

方程x=sinx在x∈[-π，π]上实根的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

已知θ是第二象限角，，则的值为（ ）
A．7
B．-7
C．
D．

7. 难度：中等

等差数列{a_n}中，已知，则n为（ ）
A．20
B．21
C．210
D．218

8. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的减函数，A（0，-2）、B（-3，2）是其图象上的两点，则y=|f（x-2）|-2（y＞0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

（文） 若，则目标函数z=2x+y的最小值为    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=2cos²x-（sinx+cosx）²（x∈R）的最小正周期是    ．

11. 难度：中等

小明上楼梯每步可以登一级或两级台阶，若小明上有五级台阶的楼梯，则有    种不同的走法．

12. 难度：中等

若曲线与曲线y=1-4x³在x=x处的切线互相垂直，则x=    ．

13. 难度：中等

若（1+2^x）⁷展开式的第三项为168，则=    ．

14. 难度：中等

双曲线的左、右焦点为F₁、F₂，则左焦点F₁到渐进线的距离为    ，若双曲线上一点P使得∠F₁PF₂为锐角，则P点横坐标的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知一次函数f（x）=ax-2
（I）当a=3时，解不等式|f（x）|＜4；
（II）解关于x的不等式|f（x）|＜4；
（III）若不等式|f（x）|≤3对任意x∈（0，1]恒成立，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面PAD垂直底面ABCD，且△PAD为正三角形，E为侧棱PD的中点．
（I）求证：AE⊥平面PCD；
（II）求平面PAB与平面PDC所成二面角的大小；
（III）求直线PB与平面PDC所成角的大小．

17. 难度：中等

某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球大战．假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为．现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求：
（I）乙队以4：3点球取胜的概率有多大？
（II）设点球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足3S_n=（n+2）a_n（n∈N^*），其中S_n为其前n项的和，a₁=2
（I）证明：数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）；
（II）求数列的前n项和T_n；
（III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有成立，若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

过抛物线x²=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．
（I）证明：△ABO是钝角三角形；
（II）求△ABO面积的最小值；
（III）过点A作抛物线的切线交y轴于点C，求线段AC中点M的轨迹方程．

20. 难度：中等

为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y=x上”这个课题，我们可以分三步进行研究：
（I）首先选取如下函数：y=2x+1，，
求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：y=2x+1与其反函数的交点坐标为（-1，-1）与其反函数的交点坐标为（0，0），（1，1）与其反函数y=x²-1，（x≤0）的交点坐标为（），（-1，0），（0，-1）
（II）观察分析上述结果得到研究结论；
（III）对得到的结论进行证明．现在，请你完成（II）和（III）．