2011年陕西省咸阳市高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集为实数R，集合A={x|x²-1≤0}，B={x|x＜1}，则A∩（∁_RB）=（ ）
A．{x|-1≤x≤1}
B．{x|-1≤x＜1}
C．ϕ
D．{x|x=1}

2. 难度：中等

若复数（i为虚数单位）为非纯虚数，则实数m不可能 为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

3. 难度：中等

如果过曲线y=x⁴-x上点P处的切线平行于直线y=3x+2，那么点P的坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（0，-1）
C．（0，1）
D．（-1，0）

4. 难度：中等

将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（ ）
A．y=cos2x+sin2
B．y=cos2x-sin2
C．y=sin2x-cos2
D．y=cosxsin

5. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．若a₁=1，则S₄=（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16

6. 难度：中等

如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

执行程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最小值是（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16

8. 难度：中等

设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β、那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题

9. 难度：中等

已知双曲线的左焦点为F，A（a，0），B（0，b），当时，则该双曲线的离心率e等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N^*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．对下列4个函数：①；②；③f（x）=3π（x-1）²+2；④f（x）=log_0.5x；其中是一阶格点函数的有（ ）
A．①③
B．②③
C．③④
D．①④

二、解答题

11. 难度：中等

在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类比到空间写出你认为合适的结论：    ．

12. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为    ．

13. 难度：中等

已知企业生产汽车甲种配件每万件要用A原料3吨，B原料2吨；乙种配件每万件要用A原料1吨，B原料3吨；甲配件每件可获利5元，乙配件每件可获利3元，现有A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，利用现有原料该企业可获得的最大利润是    万．

14. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b²+c²=a²-bc，，则△ABC的面积等于    ．

15. 难度：中等

A．（不等式选做题）不等式|≤1的实数解集为    ．
B．（几何证明选做题）如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．则=    ．
C．（坐标系与参数方程选做题）若△ABC的底边BC=10，∠B=2∠A，以B点为极点，BC 为极轴，则顶点A 的极坐标方程为    ．

16. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）在一个周期内，当时，y取最小值-3；当时，y最大值3．
（I）求f（x）的解析式； 
（II）求f（x）在区间上的最值．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n是数列{a_n}的前n项和，且4S_n=a_n²+2a_n-3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知b_n=2ⁿ，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

18. 难度：中等

如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．
（1）在线段DC上是否存在一点F，使得EF⊥面DBC，若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由；
（2）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

19. 难度：中等

某企业准备招聘一批大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为；
（1）求该小组中女生的人数；
（2）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

20. 难度：中等

已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+lnx-ax．
（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1）上是增函数，求a得取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设g（x）=x²+|x-a|，（1≤x≤3），求函数g（x）的最小值．