2010年重庆市部分重点中学高高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若log_a2＜0，2^b＞1，则（ ）
A．0＜a＜1，b＞0
B．a＞1，b＜0
C．a＞1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0

2. 难度：中等

如图，已知U是全集，A，B，C是U的非空子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．（A∩B）∩C
B．（A∩B）∪C
C．（A∩B）∩C_UC
D．（A∩B）∪C_UC

3. 难度：中等

sin15°cos75°+cos15°sin105°等于（ ）
A．0
B．
C．
D．1

4. 难度：中等

函数f（x）=a|x-b|+2在[0，+∞）上为增函数，的充分必要条件是（ ）
A．a=1且b=0
B．a＜0且b＞0
C．a＞0且b≤0
D．a＞0且b＜0

5. 难度：中等

已知函数的值域是[0，+∞），则它的定义域可以是（ ）
A．（0，1]
B．（0，1）
C．（-∞，1）
D．（-∞，1]

6. 难度：中等

已知x、y满足不等式组，则t=x²+y²+2x-2y+2的最小值为（ ）
A．
B．5
C．2
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinωx在区间[-，]上的最小值是-2，则ω的取值范围为（ ）
A．（-∞，-]
B．（-∞，-2]
C．（-∞，-2]∪[，+∞）
D．（-∞，-]∪[6，+∞）

8. 难度：中等

已知f（x）=ax²+bx+c （a＞0），α，β为方程f（x）=x的两根，且0＜α＜β，当0＜x＜α时，给出下列不等式，成立的是（ ）
A．x＜f（x）
B．x≤f（x）
C．x＞f（x）
D．x≥f（x）

9. 难度：中等

设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q，R两点，其中O为坐标原点，则|OP|²与|OQ|•|OR|的大小关系为（ ）
A．|OP|²＜|OQ|•|OR|
B．|OP|²＞|OQ|•|OR|
C．|OP|²=|OQ|•|OR|
D．不确定

10. 难度：中等

平面向量的集合A到A的映射f由f（）=确定，其中为常向量．若映射f满足对恒成立，则的坐标不可能是（ ）
A．（0，0）
B．（-，）
C．（-，）
D．（-，）

二、解答题

11. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，且a₇-2a₄=-1，a₃=0，则d=    ．

12. 难度：中等

定义运算：=a₁a₄-a₂a₃，则函数f（x）=的最大值是    ．

13. 难度：中等

已知函数y=a^x（a＞0，a≠1）的反函数是y=f^-1（x），若f^-1（m）+f^-1（n）=0，则m+n的最小值是    ．

14. 难度：中等

如图，已知单位向量、与向量共面，且夹角分别
为和，设=-，则向量与的夹角是    ．

15. 难度：中等

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（，]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（，]上是增函数；
则其中真命题是    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2x²-2ax+b，f（-1）=-8．对∀x∈R，都有f（x）≥f（-1）成立；记集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x-t|≤1}．
（I）当t=1时，求（C_RA）∪B．
（II）设命题P：A∩B≠空集，若￢P为真命题，求实数t的取值范围．

17. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，锐角B满足．
（1）求的值；
（2）若，当ac取最大值时，求的值．

18. 难度：中等

已知f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围D．
（2）设函数，当x∈D时，求函数H（x）的值域．

19. 难度：中等

若关于x的实系数方程x²+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．
（1）设z=2a-b，求z的取值范围；
（2）过点（-5，1）的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l的方程．

20. 难度：中等

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高5 m，隧道全长2.5 km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．

（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？
（已知：椭圆+=1的面积公式为S=πab，柱体体积为底面积乘以高．）
（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及h的值，使总造价最少．

21. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）；
（2）试判断函数f（x）在[0，+∞）上是否存在最小值，若存在，求该最小值；若不存在，说明理由；
（3）设数列{a_n}各项都是正数，且满足a₁=f（0），（n∈N^*），又设，S_n=b₁+b₂+…+b_n，，当n≥2时，试比较S_n与T_n的大小，并说明理由．