2011年江苏省高考数学权威预测试卷（2）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

双曲线x²-4y²=1的离心率为    ．

2. 难度：中等

已知a，b，c，d∈C，定义运算=（a+b）（c+d）-，z=，则=    ．

3. 难度：中等

在△ABC中，已知b=2，a=2，如果三角形有解，则∠A的取值范围是    ．

4. 难度：中等

已知直线l₁：x-2y-1=0，直线l₂：ax-by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．则直线l₁∩l₂=∅的概率为为    ．

5. 难度：中等

根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T为    ．

6. 难度：中等

函数在区间上的最大值是    ．

7. 难度：中等

若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为    ．

8. 难度：中等

假设符号f^（n）（x）表示对函数f（x）进行n次求导，即n阶导数．若f（x）=a^x，则f^（2011）（x）=    ．

9. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，且b=2，c=3，O为△ABC的外心，则=    ．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}对任意的正整数n都有a_n-2a_n+1=0，a₁=2，数列{b_n}满足对任意正整数n，b_n是a_n和a_n+1的等差中项，则数列{b_n}的前10项和为    ．

11. 难度：中等

计算的最值时，我们可以将化成，再将分式分解成，然后利用基本不等式求最值；借此，计算使得对一切实数x都成立的正实数c的范围是    ．

12. 难度：中等

函数的最小值为    ．

13. 难度：中等

根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定．假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的可能落点区域面积为    ．

14. 难度：中等

实数x，y，z满足x+y+z=0且x²+y²+z²=1，记m为x²，y²，z²中的最大者，则m的最小值为    ．

15. 难度：中等

设两个不共线的向量，的夹角为θ，且=3，．
（1）若θ=，求的值；
（2）若θ为定值，点M在直线OB上移动，的最小值为，求θ的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，PD=8，AC=6，BD=8，AC∩BD=O，E是棱PB上的一点．
（1）求证：AC⊥DE；
（2）若BE：EP=1：2，求三棱锥O-BCE的体积；
（3）是否存在点E，使△ACE的面积最小？若存在，试求出△ACE面积最小值及对应线段BE的长；若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

如图1，A（-1，0）、B（1，0）是椭圆的长轴上两点，C，D分别为椭圆的短轴和长轴的端点，P是CD上的动点，若的最大值与最小值分别为3、．

（1）求椭圆的离心率；
（2）如图2，点F（1，0），动点Q、R分别在抛物线y²=4x及椭圆的实线部分上运动，且QR∥x轴，求△FQR的周长l的取值范围．

18. 难度：中等

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图）．在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图所示，设线段P₁P₂，P₂P₃是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．

19. 难度：中等

设函数f（x）=x²，g（x）=mlnx（m＞0），已知f（x）与g（x）有且仅有一个公共点．
（1）求m的值；
（2）对于函数h（x）=ax+b（a，b∈R），若存在a，b，使得关于x的不等式g（x）≤h（x）≤f（x）+1对于g（x）定义域上的任意实数x恒成立，求a的最小值以及对应的h（x）的解析式．

20. 难度：中等

已知数列a_n满足a₁+a₂+…+a_n=n²（n∈N^*）．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）对任意给定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*（k＜p＜r）使成等差数列？若存在，用k分别表示p和r（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．