2006年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数等于（ ）
A．-2i
B．2i
C．2
D．-2

2. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={y|y=log_0.5x，x＞2}，B={y|y=2^x，x＞2}，则C_U（A∪B）（ ）
A．（-∞，4]
B．[-1，4]
C．（-1，4）
D．[1，+∞）

3. 难度：中等

设二项式（3x+1）ⁿ的展开式的各项系数的和为m，其二项式系数之和为k，若m+k=1056，则n等于（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

4. 难度：中等

已知函数f（x）的导数为f′（x），若f′（x）＜0（a＜x＜b）且f（b）＞0，则在（a，b）内必有（ ）
A．f（x）=0
B．f（x）＜0
C．f（x）＞0
D．不能确定

5. 难度：中等

已知双曲线的离心率为2，点A（a，0），B（0，-b），若原点到直线AB的距离为，则该双曲线两准线间的距离等于（ ）
A．
B．
C．1
D．2

6. 难度：中等

设z=y-2x，式中变量x，y满足下列条件则z的最大值是（ ）
A．10
B．0
C．3
D．4

7. 难度：中等

下面有四个命题：
①“直线a，b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a，b不相交”；
②“直线a垂直于平面β内无数条直线”的充要条件是“直线a垂直于平面β”；
③“直线a垂直于直线b”的充分非必要条件是“直线a垂直于直线b在平面β内的射影”；
④“直线a平行于平面β”的必要非充分条件是“直线a平行于平面β内的一条直线”．
其中不正确的命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

下面函数中，图象经过平移或翻折后不能与函数图象重合的是（ ）
A．y=2^-x
B．
C．y=2log₄
D．

二、解答题

9. 难度：中等

等比数列{b_n}：1，2，4，…，其前n项和为S_n，n=1，2，3，…，则=    ．

10. 难度：中等

如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要    个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．

11. 难度：中等

已知向量=（4，2），向量=（1，-1），则向量在向量上的射影长为    ．

12. 难度：中等

已知圆M：，过点A（-1，0）作△ABC，使其满足条件：直线AB经过圆心M，∠BAC=30°，且B、C两点均在圆M上，则直线AC的方程为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=2^|x|-2，则f（x）是    （填“奇”或“偶”）函数，不等式x[f（x）+f（-x）]＞0的解集是    ．

14. 难度：中等

袋中有8个大小相同的球，其中有5个红球，3个白球，每次从中任意抽取一个且抽取后不放回，先后抽取3次，则抽到红球比抽到白球次数多的概率为    ．

15. 难度：中等

设函数的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）若，求tanx的值．

16. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面ABCD是面积为2的菱形，∠ADC=60°，M是PB的中点．
（Ⅰ）求证PA⊥CD；
（Ⅱ）求二面角P-AB-D的度数；
（Ⅲ）求证平面PAB⊥平面CDM．

17. 难度：中等

高三学生尚大学想买一本新出版的数学高考指导丛书，他家附近有4个书店，他打算由近到远依次去书店看看是否有这本书，要是有就买一本．如果每个书店有这本书的概率为0.6，并且互相独立，设他在买到这本书之前已经去过的书店的个数为ξ．
（Ⅰ）求尚大学到第一个书店就买到这本书的概率；
（Ⅱ）求ξ的概率分布；
（Ⅲ）求ξ的数学期望，并据此说明尚大学他能否在这4个书店中买到这本书．

18. 难度：中等

函数f （x） 对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f （1）=0．
（Ⅰ）求f （0）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅲ）当时，f （x）+2＜log_ax恒成立，试求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知三个点列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），满足向量与向量共线，且点列{B_n}在斜率为6的直线上，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）试用a₁，b₁与n表示a_n（n≥2）；
（Ⅲ）设a₁=a，b₁=-a，在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，试求实数 a的取值范围．

20. 难度：中等

四边形ABCD是梯形，•=0，与共线，A，B是两个定点，其坐标分别为（-1，0），（1，0），C、D是两个动点，且满足|CD|=|BC|．
（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P，过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M，N两点，求四边形CMPN面积的最小值．