2011年山东省临沂市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|x＞0}，B={x|x＜4}，则A∩B等于（ ）
A．{x|x＜0}
B．{x|0＜x＜4}
C．{x|x＞5}
D．R

2. 难度：中等

设复数z₁=1+i，z₂=2+bi，若为实数，则实数b=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

3. 难度：中等

班主任将甲乙两人最近的7次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．甲的众数大于乙的从数，乙比甲成绩稳定
B．甲的众数大于乙的众数，甲比乙成绩稳定
C．甲的众数小于乙的众数，甲比乙成绩稳定
D．甲的众数小于乙的众数，乙比甲成绩稳定

4. 难度：中等

若函数y=f（x）是函数y=log_ax（x＞0，且a≠1）的反函数，且f（1）=，则f（x）=（ ）
A．
B．2^x-2
C．
D．log₂

5. 难度：中等

对于函数f（x）=sinx+cosx，下列命题中正确的是（ ）
A．∀x∈R，f（x）=2
B．∃x∈R，f（x）=2
C．∀x∈R，f（x）＞2
D．∃x∈R，f（x）＞2

6. 难度：中等

已知直线a和平面α，那么a∥α的充分条件是（ ）
A．存在一个平面β，a⊂β，α∥β
B．存在一个平面α，α⊥β，a⊥β
C．存在一条直线b，a∥b，b⊂α
D．存在一条直线b，a⊥b，b⊥α

7. 难度：中等

执行如图的程序框图，则输出的n=（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

8. 难度：中等

观察右列等式：
可以推测当n∈N^*时，有：1³+2³+…+n³=（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在△ABC中，已知sinA+sinC=2sinB，且∠B=，若△ABC的面积为，则∠B的对边b等于（ ）
A．1
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数y=（0≤x≤4）的值域为A，不等式x²-x≤0的解集为B，若a是从集合A中任取的一个数，b是从集合B中任取一个数，则a＞b的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

若双曲线=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

偶函数f（x）满足f（1-x）=f（x+1），且x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，则关于x的方程f（x）=，在x∈[0，3]上解的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

13. 难度：中等

函数y=在点（2，）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则实数a的值为    ．

14. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为    ．

15. 难度：中等

某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温（°C）	18	13	10	-1
用电量（度）	24	34	38	64

由表中数据，得线性回归方程，当气温为-5°C时，预测用电量的度数约为    度．

16. 难度：中等

下面四个命题：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②若命题P：所有能被3整除的整数都是奇数，则_￢P：存在能被3整除的数不是奇数；
③将函数y=sin（2x-）的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数解析式为y=-cos2x；
④在一个2×2列联表中，由计算得K²=13，079，则其两个变量有关系的可能性是90%．

P（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

其中所有正确的命题序号是    ．

17. 难度：中等

已知向量a=（sinx，），b=（cosx，-1）．
（I）若，求2cos²x-sin2x的值；
（II）若=，且x∈，求x的值．

18. 难度：中等

某地外出务工人员有1000人，其中高中及以上学历的有800人，高中以下学历有200人，现用分层抽样的方法从该地外出务工人员中抽查100人，调查他们的月收入情况，从高中及以上学历人群中抽查结果和从高中以下学历人群中抽查结果分别如表1和表2．
表1：

月收入（单位元）	[1500，2000）	[2000，2500）	[2500，3000）	[3000，3500）
人数	8	16	x	24

表2：

月收入（单位元）	[1000，1500）	[1500，2000）	[2000，2500）	[2500，3000）	[3000，3500）
人数	4	8	3	y	2

（I）先确定x，y的值，再补齐图1、图2的频率分布直方图，并根据频率分布直方图分别估计样本数据的中位数所在的区间；
（II）（1）估计高中及以上学历外出务工人员月收入的平均值与高中以下外出务工人员月收入的平均值哪个更高；
（2）在抽查的100人中从高中以下学历月收入在2000～3000元之间的人员中，抽查两人了解其工作环境，求抽查的两人中至少有
1人月收入不少于2500元的概率．

19. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
（3）若E是侧棱PC上的动点，不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论．

20. 难度：中等

定义：同时满足下列两个条件的数列{a_n} 叫做“上凸有界数列”，①②a_n≤M，M是与n无关的常数．
（I）若数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1，试判断数列{a_n} 是否为上凸有界数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}是等差数列，T_n为其前n项和，且b₃=4，T₃=18，试证明：数列{T_n}为上凸有界数列．

21. 难度：中等

已知x=1是函数f（x）=的极值点．
（I）求a的值；
（II）当b=1时，讨论f（x）的单调性；
（III）当b∈R时，函数t=f（x）-m有2个零点，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，且l总与以原点为圆心的单位圆相切．
（I）求该椭圆的方程；
（II）当且满足时，求S_△AOB的取值范围．