2011年湖南省六校高考数学模拟试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=Z，集合A={-1，1，2}，B={-1，1}，则A∩（C_UB）=（ ）
A．{1，2}
B．{1}
C．{2}
D．{-1，1}

2. 难度：中等

若复数z满足（i是虚数单位），则z=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知向量=（2，-3），=（x，6），，则|的值为（ ）
A．
B．
C．5
D．13

4. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

有四个关于三角函数的命题：p₁：∃A∈R，+=；p₂：∃A，B∈∈R，sin（A-B）=sinA-sinB；p₃：∀x∈[0，π]，=sinx，p₄：sinx=cosy→x+y=其中假命题是（ ）
A．P₁，P₄
B．P₂，P₄
C．P₁，P₃
D．P₂，P₃

6. 难度：中等

如图，该程序运行后输出的结果是（ ）
A．8
B．15
C．31
D．63

7. 难度：中等

已知P（x，y）为函数y=xsinx+cosx上的任意一点，f（x）为该函数在点P处切线的斜率，则f（x）的部分图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图所示，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD₁上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（ ）

A．4π
B．2π
C．π
D．

二、解答题

9. 难度：中等

为了了解某地居民月均用电的基本情况，抽取出该地区若干户居民的用电数据，得到频率分布直方图如图3所示，若月均用电量在区间[110，120）上共有150户，则月均用电量在区间[120，150）上的居民共有    户．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，若a₄+2a₆+a₈=12，则该数列前11项的和为    ．

11. 难度：中等

△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知，a=2b，则b的值为    ．

12. 难度：中等

如果直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为    ．

13. 难度：中等

在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：由此得
…

相加，得
类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，

其结果为     ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=（a∈R）
①若a＞0，则f（x）的定义域是    ；
②若f（x）在区间（0，2]上是减函数，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

在极坐标系中，曲线p=4cos（上任意两点间的距离的最大值为    ．

16. 难度：中等

用0.618法选取试点过程中，如果试验区间为[2，4]，x₁为第一个试点，且x₁处的结果比x₂处好，则x₃为    ．

17. 难度：中等

某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），其样本频率分布表如下：

分组	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）		合计
频数	2	3	14	15		4
频率	0.04	0.06	0.28	0.30		0.08

（1）估计本次考试的平均分；
（2）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[90，100）的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学成绩为95分，求甲乙两同学恰被安排在同一小组的概率．

18. 难度：中等

一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M，N分别是AF，BC的中点）．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积．

19. 难度：中等

如图所示，椭圆的离心率为，且A（0，1）是椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

20. 难度：中等

如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点（N，M）在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，
（1）按下列要求写出函数的关系式：
 ①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；
 ②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．

21. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．
（Ⅲ）求证：．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（3）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a的取值范围．