2010年重庆市西南师大附中高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z满足（+3i）z=3i，则z=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1．则f（1）=（ ）
A．0
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

等差数列a_n中，已知a₅+a₇=16，a₃=4，则a₉=（ ）
A．8
B．12
C．24
D．25

4. 难度：中等

若，且tanα＜cotβ，那么必有（ ）
A．
B．
C．α＞β
D．α＜β

5. 难度：中等

若向量a，b满足|a|=，|b|=2，（a-b）⊥a，则向量a与b的夹角等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数y₁=x+（x≠0），y₂=cosx+（0＜x＜），y₃=（x＞0），y₄=（1+cotx）（+tanx）（0＜x＜），其中以4为最小值的函数个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

7. 难度：中等

的值为（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1

8. 难度：中等

如图是正态分布N∽（0，1）的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的有（ ）个．
①；②ϕ（-a）；③；④．

A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

已知三棱锥A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥面BCD，∠ADB=60°，点E、F分别在AC、AD上，使面BEF⊥ACD，且EF∥CD，则平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[m，n]⊆D，使f（x）在[m，n]上的值域为，那么就称y=f（x）为“好函数”．现有f（x）=log_a（a^x+k），（a＞0，a≠1）是“好函数”，则k的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

的展开式中，常数项为15，则n=    ．

12. 难度：中等

已知，则的值为    ．

13. 难度：中等

某旅馆有1个三人间、2个两人间可用，有三个成人带两个小孩来投宿，小孩不宜单住一间（必须有成人陪同），且不要求房里都住有人，则不同的安排住宿方法有    种．

14. 难度：中等

设实数a、b满足，则9a²+4b²的最大值是    ．

15. 难度：中等

如图，已知椭圆的左、右准线分别为l₁，l₂，且分别交x轴于C，D两点，从l₁上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与交于点B，若AF⊥BF，且∠ABD=75°，则椭圆的离心率等于    ．

16. 难度：中等

已知函数g（x）=-sinxcos-x的图象按向量=（-，）平移得到函数f（x）=acos²（x+）+b的图象．
（1）求实数a、b的值；
（2）设函数φ（x）=g（x）-f（x），x∈[0，]，求函数φ（x）的单调递增区间和最值．

17. 难度：中等

某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
（1）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
（2）商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，请问：商场应将每次中奖奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？

18. 难度：中等

已知函数f（x）的导数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e^2x，试判断函数F（x）的极值点个数．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°．
（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小．

20. 难度：中等

设F是椭圆的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN．

21. 难度：中等

古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（n∈N*）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．现用a_n表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
（1）写出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）记b_n=a_n+1，求和（i，j∈N*）；（其中表示所有的积b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和）
证明：≤++…+＜（n∈N^*）．