2011年福建省莆田市高三质量检查数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=i（-1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

“点P_n（n，a_n）（n∈N^*）都在直线y=x+1上”是“数列{a_n}为等差数列”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分不必要条件

3. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）是定义在R上的单调递减函数，则函数g（x）=log_a（x+1）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

某几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

一组数据由小到大依次为2，2，a，b，12，20．已知这组数据的中位数为6，若要使其标准差最小，则a，b的值分别为（ ）
A．3，9
B．4，8
C．5，7
D．6，6

6. 难度：中等

某程序框图如右图所示，若该程序运行后输出n的值是4，则自然数S的值为（ ）

A．3
B．2]
C．1
D．0

7. 难度：中等

甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共打了6局，而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了（ ）
A．9局
B．11局
C．13局
D．18局

8. 难度：中等

若双曲线的一条渐近线被圆（x-2）²+y²=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6

9. 难度：中等

已知函数，则使方程x+f（x）=m有解的实数m的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（-∞，-2）
C．（-∞，1）∪（2，+∞）
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

10. 难度：中等

若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．c＜b＜a

二、解答题

11. 难度：中等

已知（1+x）ⁿ（n∈N^*）的展开式中，x²与x³的系数相等，则n=    ．

12. 难度：中等

若2∈{x|x（x-m）＜0，m∈Z}，则m的最小值为    ．

13. 难度：中等

已知点P是不等式组所表示的可行域内的一动点，则点P到抛物线x²=4y的焦点F的距离的最小值是    ．

14. 难度：中等

如右图，在平面直角坐标系xOy中，点A在角α的终边上，且|OA|=4cosα，则当时，点A的纵坐标y的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知向量a，b是平面α内的一组基底，向量c=a+2b，对于平面α内异于a，b的不共线向量m，n，现给出下列命题：
①当m，n分别与a，b对应共线时，满足c=m+2n的向量m，n有无数组；
②当m，n与a，b均不共线时，满足c=m+2n的向量m，n有无数组；
③当m，n分别与a，b对应共线时，满足c=m+2n的向量m，n不存在；
④当m与a共线，但向量n与向量b不共线时，满足c=m+2n的向量m，n有无数组．
其中真命题的序号是    ．（填上所有真命题的序号）

16. 难度：中等

函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，其最高 点为M，最低点为N，与x轴正半轴交点为P．在△MNP中，∠MNP=30°，MP=2．
（1）判断△MNP的形状，并说明理由；
（2）求函数f（x）的解析式．

17. 难度：中等

一个盒子装有标号为1，2，3，4，5，6且质地相同的标签各若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X，记P（X≤i）=P（X=1）+P（X=2）+…+P（X=i），i=1，2，…，6．若（其中a为常数）
（1）求a的值以及随机变量X的数学期望EX；
（2）有放回地每次抽取1张标签，求得到两张标签上的标号之和为4的概率．

18. 难度：中等

如图（1），在直角梯形ACC₁A₁中，∠CAA₁=90°，AA₁∥CC₁，AA₁=4，AC=3，CC₁=1，点B在线段AC上，AB=2BC，BB₁∥AA₁，且BB₁交A₁C₁于点B₁．现将梯形ACC₁A₁沿直线BB₁折成二面角A-BB₁-C，设其大小为θ．
（1）在上述折叠过程中，若90°≤θ≤180°，请你动手实验并直接写出直线A₁B₁与平面BCC₁B₁所成角的取值范围．（不必证明）；
（2）当θ=90°时，连接AC、A₁C₁、AC₁，得到如图（2）所示的几何体ABC-A₁B₁C₁，
（i）若M为线段AC₁的中点，求证：BM∥平面A₁B₁C₁；
（ii）记平面A₁B₁C₁与平面BCC₁B₁所成的二面角为α（0＜α≤90°），求cosa的值．

19. 难度：中等

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为椭圆上两个不同的动点，圆O的方程为x²+y²=a²．
（1）如图，若向圆O内随机投一点A，点A落在椭圆C的概率为，椭圆C上的动 点到其焦点的最近距离为．椭圆C的面积为πab．
（i）求椭圆C的标准方程；
（ii）若点B（0，1）且，求直线OP的低斜率；
（2）若直线OP和OQ的斜率之积为，请探点M（x₁，x₂）与圆O的位置关系，并说明理由．

20. 难度：中等

在福建省第14届运动会开幕式上，主会场中央有一块边长为a米的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点E、F分虽为BC、CD边上异于点C的动点，现在顶点A处有视角∠EAF设置为45°的摄像机，正录制形如△ECF的移动区域内表演的某个文艺节目，设DF=x米，BE=y米．
（Ⅰ）试将y表示为x的函数；
（Ⅱ）求证：△ECF周长p为定值；
（Ⅲ）求△ECF面积S的最大值．

21. 难度：中等

某研究性学习小组研究函数f（x）=ax³+bx（a≠0，a，b为常数）的 性质：
（Ⅰ）甲同学得到如下表所示的部分自变量x及其对应函数值y的近似值（精确到0.01）：

x	-1	-0.72	-0.44	-0.16	0.12	0.4
y的近似值	4.00	1.15	0.02	-0.14	0.11	0.08

请你根据上述表格中的数据回答下列问题：
（i）函数f（x）在区间（0.4，0.44）内是否存在零点，写出你的判断并加以证明；
（ii）证明：函数f（x）在区间（-∞，-0.3）上单调递减；
（Ⅱ）乙同学发现对于函数f（x）图象上的两点A（-1，4），B（t，f（t））（-1＜t＜2），存在m∈（-1，t），使f'（m）的值恰为直线AB的斜率，请你判断乙同学的结论是否正确？若正确，请给出证明并确定m的个数，若不正确，请说明理由．