2008年浙江省宁波市十校高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={a，0}，N={x|x²-3x＜0，x∈Z}，若M∩N≠φ，则a等于（ ）
A．1
B．2
C．1或2
D．8

2. 难度：中等

若复数z₁=3+i，z₂=1-i，则z₁•z₂在复数z₁•z₂平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

函数的最大值为（ ）
A．7
B．
C．5
D．4

4. 难度：中等

过点O引三条射线OA，OB，OC，已知∠AOB=θ，∠AOC=β，∠BOC=α，且平面AOB⊥平面BOC，则有（ ）
A．cosα=cosθ•cosβ
B．cosβ=cosθ•cosα
C．sinα=sinθ•sinβ
D．sinβ=sinθ•sinα

5. 难度：中等

某产品的长度x服从正态分布N（10.88，0.07²），规定x在范围（10.74，11.02）（厘米）内为合格品，则产品为合格品的概率为（ ）（计算时供选用的数据：φ（0）=0.5，φ（1）=0.8413，φ（2）=0.9772，φ（3）=0.9987）
A．0.6826
B．0.3174
C．0.9772
D．0.9544

6. 难度：中等

有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于（ ）
A．
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

已知：x¹⁰=a+a₁（1-x）+a₂（1-x）²+…+a₁₀（1-x）¹⁰，其中a，a₁，a₂，…，a₁₀为常数，则a+a₂+a₄+…+a₁₀等于（ ）
A．-2¹⁰
B．-2⁹
C．2¹⁰
D．2⁹

8. 难度：中等

过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如果关于x的方程在区间[1，5]上有解，则有（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数y=f（2x-1）是定义域在R上的奇函数，函数y=g（x）是函数y=f（x）的反函数，则g（a）+g（-a）的值为（ ）
A．2
B．-2
C．0
D．随a的取值而变化

二、解答题

11. 难度：中等

已知cos（α+）=sin（α-），则tanα=    ．

12. 难度：中等

已知M（3，-2），N（-5，2），且，则点P的坐标为    ．

13. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=，=    ．

14. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，F、G分别为AA₁、AB的中点，则FG与AC₁所成的角为    ．

15. 难度：中等

已知A（3，2），B（5，5），C（0，4），动点P（x，y）在△ABC内部或边界上，则定点Q（5，0）到点P（x，y）的最小距离为    ．

16. 难度：中等

已知f（x）是可导的偶函数，且，则曲线y=f（x）在（-2，1）处的切线方程是    ．

17. 难度：中等

把1，2，3，4，5，6这6个数分成A，B，C三组，每组两个数，则1，3分在A组的概率为    ．

18. 难度：中等

已知函数图象关于点B对称，点B到函数y=f（x）图象的对称轴的最短距离为．
（1）求A，ω，ϕ的值；
（2）若0＜θ＜π，且的值．

19. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠CDA=∠DAB=90°CD=1，AD=2，AB=4，且∠APD=30°，M为PB的中点．
①求证：PB⊥平面AMC；
②求直线AM与平面PAD所成的角；
③求点A到平面PBC的距离．

20. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，且数列{a_n+1+a_n}是公比为2的等比数列，数列{a_n+1-a_n}是公比为-1的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当k为正奇数时，
（3）求证：当．

21. 难度：中等

曲线C是中心在原点，焦点为的双曲线的右支，已知它的一条渐近线方程是．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点E（2，0），若直线l与曲线C交于不同于点E的P，R两点，且，求证：直线l过一个定点，并求出定点的坐标．

22. 难度：中等

已知函数上为增函数，函数g（x）=lnx-ax，（x＞0，x∈R）在（1，+∞）上为减函数．
（1）求实数a的值；
（2）求证：对于任意的x₁∈[1，m]（m＞1），总存在x₂∈[1，m]，使得g（x₂）+f（x₁）=0．