2011年湖北省天门市高考数学模拟试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

不等式≤0的解集是（ ）
A．（-∞，-1]∪[3，+∞）
B．[-1，3]
C．（-∞，-1）∪[3，+∞）
D．（-1，3]

2. 难度：中等

设数列{a_n}和{b_n}的通项公式为a_n=和b_n=（n∈N^*），它们的前n项和依次为A_n和B_n，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若复数x+yi满足：x+yi=（x，y∈R，i是虚数单位），则=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

4. 难度：中等

已知，g（x）=sinx，下列选项正确的是（ ）
A．函数y=f（x）g（x）的一个单调区间是[-，]
B．函数y=f（x）+g（x）的最大值是2
C．函数y=f（x）+g（x）的一个对称中心是（-，0）
D．函数f（x）的一条对称轴是x=

5. 难度：中等

已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线-=1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知命题p：|x-1|≤1，命题q：≥1，则¬p是¬q的（ ）
A．充分必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点．甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t₁，t₂，则有（ ）
A．t₁＞t₂
B．t₁＜t₂
C．t₁≤t₂
D．t₁≥t₂

8. 难度：中等

设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（ ）
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直

9. 难度：中等

如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，G，H，I分别为DE，FC，EF的中点，将
△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥，则异面直线BG与IH所成的角为（ ）

A．
B．arccos
C．
D．arccos

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义横坐标及纵坐标均为整数的点为格点．如果直线y=kx+b与圆x²+y²=5的公共点均为格点，那么这样的直线有（ ）
A．24条
B．28条
C．32条
D．36条

二、解答题

11. 难度：中等

的展开式中x²的系数为    ．（用数字作答）

12. 难度：中等

如图，过抛物线y²=4x焦点的直线依次交抛物线与圆（x-1）²+y²=1于A，B，C，D，则•=    ．

13. 难度：中等

如图，A，B，C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是    ．

14. 难度：中等

某医院为了提高服务质量，对病员挂号进行了调查，其调查结果为：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟分恰好不会出现排队现象．根据以下信息，若医院承诺5分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放的窗口数为    ．

15. 难度：中等

设r，s，t为整数，集合{x|x=2^r+2^s+2^t，0≤t＜s＜r}中的数由小到大组成数列{a_n}：7，11，13，14，…，则的a₃₆的值是    ．

16. 难度：中等

已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tanB=，．
（Ⅰ）求tanB的值；
（Ⅱ）求的值．

17. 难度：中等

某学校为提升数字化信息水平，在校园之间架设了7条网线，这7条网线其中有两条能通过一个信息量，有三条能通过两个信息量，有两条能通过三个信息量．现从中任选三条网线，设可通过的信息量为X，当可通过的信息量不小于6时，则可保证校园内的信息通畅．
（1）求线路信息通畅的概率；
（2）求线路可通过的信息量X的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²，在[-1，1]上是减函数．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范围．

20. 难度：中等

已知过椭圆C：+=1（a＞b＞0）右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点；又函数y=asinx+3bcosx图象的一条对称轴的方程是．（1）求椭圆C的离心率e与直线AB的方程；（2）对于任意一点M∈C，试证：总存在角θ（θ∈R）使等式+sinθ成立．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=-cosx，g（x）=ax-π．
（Ⅰ）若函数h（x）=g（x）-f（x）在x=时取得极值，求h（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）证明：对任意的x∈R，都有|f′（x）|≤|x|；
（Ⅲ）若a=2，x₁=a（a），g（x_n+1）=，求证：＜π（n∈N^×）