2009年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学模拟试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若函数y=sin⁴x+cos⁴x（x∈R），则函数的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π

2. 难度：中等

已知集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x∈Z||x|≤a}，则满足A⊊B的实数a可以取的一个值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

函数y=的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

将圆x²+y²=4上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若不等式的解集是（-∞，-5）∪（-2，-1），那么m的值是（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

6. 难度：中等

设a是直线，α是平面，那么下列选项中，可以推出a∥α的是（ ）
A．存在一条直线b，a∥b，b⊂α
B．存在一条直线b，a⊥b，b⊥α
C．存在一个平面β，a⊂β，α∥β
D．存在一个平面β，a⊥β，α⊥β

7. 难度：中等

从某地区15000位老人中随机抽取500人，其健康综合指标的统计情况如下表所示：

性别人数综合指标	男	女
正常	178	278
良好	23	21

则该地区健康综合指标良好的老人中男性比女性约多（ ）
A．2人
B．22人
C．60人
D．667人

8. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．设p：圆C上存在关于直线l对称的相异两点；q：m=．则p是q的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分也非必要条件

9. 难度：中等

若△ABC所在平面内一点P满足，则点P一定在（ ）
A．△ABC的一边上
B．△ABC的一顶点处
C．△ABC的外部
D．△ABC的内部

10. 难度：中等

某汽车运输公司购置中型客车一辆投放客运市场营运，据市场调查分析知，该型客车投放市场后的第x年的年利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N^*）的函数关系为y=，若这辆客车营运n年可使其营运年平均利润达到最大，则n 的值为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6

二、解答题

11. 难度：中等

设二项式的展开式中各项系数和为p，各项的二项式系数和为s，若p+s=272，则n等于    ．

12. 难度：中等

球的内接正方体的棱长为a，则该正方体同一棱的两端点间的球面距离均为    ．

13. 难度：中等

已知f（x）是R上的偶函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x²，则f（7）=    ．

14. 难度：中等

在由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的六位数中，任取一个六位数，恰好满足个位、十位、百位上的数字之和为7的概率是    ．

15. 难度：中等

有一批大小相同的呈正方体型的物件，按照上面少，下面多的方式，堆放于仓库的墙角处．从上至下，第一层放1件，第二层放3件，第三层放6件…，各层放置的平面图形如下：
如果这堆物件一共堆放了10层，则第10层放有    件这样的物件；这一堆共有    件这样的物件．

16. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若向量 ，向量，且．
（Ⅰ）求sinA的最大值及对应的A的值；
（Ⅱ）若，求c的长．

17. 难度：中等

甲、乙两人参加一项智力竞赛．在同一轮竞赛中，两人测试同一套试卷，成绩由次到优，依次分为“合格”，“良好”，“优秀”三个等级．根据以往成绩可知，甲取得“合格”，“良好”，“优秀”的概率分别为0.6，0.3，0.1；乙取得“合格”，“良好”，“优秀”的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙两人参加竞赛的过程相互独立，且每个人的前后各轮次竞赛成绩互不影响．
（Ⅰ）求在一轮竞赛中甲取得的成绩等级优于乙取得的成绩等级的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮竞赛中，至少有两轮甲取得的成绩等级优于乙取得的成绩等级的概率．

18. 难度：中等

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=CC₁=2，E为棱AA₁的中点，F为棱BB₁上的动点．
（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D₁E⊥DF；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求CF与平面EFD₁所成角的大小．

19. 难度：中等

某企业为了适应市场需求，计划从2010年元月起，在每月固定投资5万元的基础上，元月份追加投资6万元，以后每月的追加投资额均为之前几个月投资额总和的20%，但每月追加部分最高限额为10万元．设第n个月的投资额为a_n万元，前n个月的投资总额为s_n万元．
（Ⅰ）求出a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）写出a_n关于n的表达式．
（精确到0.01，参考数据：1.2²=1.44，1.2³=1.73，1.2⁴=2.07，1.2⁵=2.49，1.2⁶=2.99）

20. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），当x=-1时f（x）取得极大值，且函数y=f（x）为奇函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设，求证：．

21. 难度：中等

已知动圆C过定点F（），且与直线x=相切，圆心C的轨迹记为E．，曲线E与直线l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）当△OAB的面积等于时，求k的值；
（Ⅲ）在曲线E上，是否存在与k的取值无关的定点M，使得MA⊥MB？若存在，求出所有符合条件的定点M；若不存在，请说明理由．